2009-江苏卷-12 填-空间命题真假

本题导读

考查空间命题。真命题为 (1)(2)：(1) 线面平行判定；(2) 线面平行判定；(3)(4) 各有反例。

📌【题干】

Question

（2009年江苏卷） 设 $\alpha$ 和 $\beta$ 为不重合的两个平面，给出下列命题：

(1) 若 $\alpha$ 内的两条相交直线分别平行于 $\beta$ 内的两条直线，则 $\alpha$ 平行于 $\beta$；

(2) 若 $\alpha$ 外一条直线 $l$ 与 $\alpha$ 内的一条直线平行，则 $l$ 和 $\alpha$ 平行；

(3) 设 $\alpha$ 和 $\beta$ 相交于直线 $l$，若 $\alpha$ 内有一条直线垂直于 $l$，则 $\alpha$ 和 $\beta$ 垂直；

(4) 直线 $l$ 与 $\alpha$ 垂直的充分必要条件是 $l$ 与 $\alpha$ 内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题的序号是$\underline{}$.（写出所有真命题的序号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 是面面平行的判定定理，真。(2) 是线面平行的判定定理，真。
2. (3) 反例：$\alpha$ 内垂直于交线 $l$ 的直线不垂直于 $\beta$ 时，$\alpha$ 与 $\beta$ 只是斜交，假。
3. (4) ”$l$ 与 $\alpha$ 内两条平行直线垂直”推不出 $l\perp \alpha$，充分性不成立，假。

✅【答案】

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(1) (2)

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由面面平行的判定定理，$\alpha$ 内两条相交直线分别平行于 $\beta$，则 $\alpha \parallel \beta$，真。 (2) 由线面平行的判定定理，平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行，真。 (3) 反例：$\alpha$ 内垂直于 $l$ 的直线 $m$ 只垂直于 $\beta$ 内的一条直线时，$\alpha$ 与 $\beta$ 不一定垂直（$\alpha$ 与 $\beta$ 可以斜交），假。 (4) 若 $\alpha$ 内的两条直线互相平行，$l$ 与它们都垂直但 $l$ 可以在 $\alpha$ 内或斜交于 $\alpha$，故”$l$ 与 $\alpha$ 内两条直线垂直”不能保证 $l\perp \alpha$，充分性不成立，假。 综上真命题为 (1)(2)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间位置关系命题

核心方法：判定定理逐条核 + 反例否伪

避坑指南：(4) 的”两条直线”若平行则不充分；判定定理要求相交。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：多命题真假判断综合线面、面面判定。

结论推广：(1)(2) 是教材定理原文；(3)(4) 用”一条/平行”设反例。

方法推广：写出所有真命题序号，别只写一个；反例要有具体位置关系描述。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-07 单-正四棱柱线面角
• 2011-江苏卷-16 解-线面平行与面面垂直
• 2012-江苏卷-16 解-面面垂直与线面平行