2009-山东卷理-02 单-复数

本题导读

本题考查复数的代数形式除法运算，属于基础计算题。关键在于分子、分母同乘以分母的共轭复数，进行分母实数化。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(理)） 复数 $\frac{3-\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$ 等于 ()

A. $1+2\mathrm{i}$　　　　　　B. $1-2\mathrm{i}$　　　　　　C. $2+\mathrm{i}$　　　　　　D. $2-\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别运算：本题为复数的除法运算。

2. 分母实数化：分子与分母同乘以分母 $1-\mathrm{i}$ 的共轭复数 $1+\mathrm{i}$。

3. 化简求值：利用复数乘法法则展开，并利用 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 化简得出最终的代数形式。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

对原式进行分母实数化变形： $\frac{3-\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\frac{(3-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}$ 展开分子与分母： $=\frac{3+3\mathrm{i}-\mathrm{i}-{\mathrm{i}}^2}{1-{\mathrm{i}}^2}$ 将 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 代入上式： $=\frac{3+2\mathrm{i}-(-1)}{1-(-1)}=\frac{4+2\mathrm{i}}{2}=2+\mathrm{i}$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的除法运算法则。

2. 核心方法：分子分母同乘分母的共轭复数。

3. 避坑指南：在计算分母的平方差以及分子的乘积时，注意虚数单位的性质 ${\mathrm{i}}^2=-1$。由于负号堆叠，极易在 $-{\mathrm{i}}^2$ 的符号转换上出现失误，需格外细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的复数基础运算题，主要考查高考试卷前三题中对复数基本功的覆盖。

2. 结论推广：复数除法的通用公式为： $\frac{a+b\mathrm{i}}{c+d\mathrm{i}}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)\mathrm{i}}{c^2+d^2}(c^2+d^2\ne 0)$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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