2009-山东卷理-07 单-向量

本题导读

本题考查平面向量的线性表示与中点公式的几何意义。通过将已知向量关系化简，确定点 $P$ 的几何位置，从而得出目标向量关系式。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(理)） 设 $P$ 是 $△ABC$ 所在平面内的一点，$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{BP}$，则 ()

A. $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=0$　　　　　　　　　　　　　　B. $\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PA}=0$

C. $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=0$　　　　　　　　　　　　　　D. $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=0$

🔍【思路分析】

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1. 中点规律转化：已知 $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{BP}$。在以 $B$ 为起点的向量中，两个向量的和等于两倍的中线向量。由此可以直接判断点 $P$ 的几何位置。

2. 结论判定：根据点 $P$ 的几何位置，利用相反向量的定义，确定目标向量和为零向量的关系式。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

根据平面向量的中点公式（或平行四边形法则）： 若 $P$ 为线段 $AC$ 的中点，则对于平面内任意一点 $B$，恒有： $\overrightarrow{BP}=\frac{\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}}{2}$ 即： $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{BP}$ 这说明点 $P$ 恰好为线段 $AC$ 的中点。

因为 $P$ 是 $AC$ 的中点，所以向量 $\overrightarrow{PA}$ 与 $\overrightarrow{PC}$ 大小相等、方向相反。 由此可得： $\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PA}=0$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量的中点公式。对于线段 $AC$ 及其中点 $P$，对任意起点 $O$，都有 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OP}$。

2. 核心方法：中点性质转化法。看到“两向量相加等于两倍的另一向量”时，应立即联想到线段的中点。

3. 避坑指南：避免将复杂的向量拆解运算作为首选。直接利用中点公式的几何意义可以秒杀本题，若将所有向量拆写为起点为 $P$ 的向量进行硬算，容易因正负号混乱而耽误时间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于平面向量章节的经典结论题。考查三角形中的重心、外心、垂心、中点等特殊点用向量表示的特征。
2. 结论推广：

• 若 $P$ 是 $AC$ 的中点，则 $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=0$。

• 若 $G$ 是 $△ABC$ 的重心，则 $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心