2009-广东卷理-02 单-复数

本题导读

本题属于新定义创新题型，考查虚数单位 $i$ 的幂的周期性。理解新定义符号 $\alpha (z)$ 的含义是破题的关键。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(理)） 设 $z$ 是复数，$\alpha (z)$ 表示满足 $z^n=1$ 的最小正整数 $n$，则对虚数单位 $i$，$\alpha (i)=$ ()

A. 8　　　　　　　B. 6　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解新定义：$\alpha (i)$ 即为满足 $i^n=1$ 的最小正整数 $n$。

2. 利用虚数单位 $i$ 的幂的周期性进行计算，寻找使等式成立的最小正整数。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

根据新定义，$\alpha (i)$ 为满足 $i^n=1$ 的最小正整数 $n$。 依次计算 $i^n$ 的值： $i^1=i$ $i^2=-1$ $i^3=-i$ $i^4=1$ 因此，满足 $i^n=1$ 的最小正整数 $n=4$，即 $\alpha (i)=4$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：虚数单位 $i$ 的运算性质及其周期性。

2. 核心方法：严格按照新定义的规则，代入特值进行周期性递推。

3. 避坑指南：注意“最小正整数”这一限制条件，不要盲目选择 8 等其他公倍数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题结合了近现代代数中“群的元素的阶”这一高观点背景，$\alpha (z)$ 实际上就是复数 $z$ 在乘法群中的阶。

2. 结论推广：对于复数 $z=\cos \theta +i\sin \theta$，若 $\theta =\frac{2\pi }{m}$（$m$ 为正整数且分子分母互质），则 $\alpha (z)=m$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-19 解-复数运算
• 2011-上海卷理-19 解-复数
• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算