2009-广东卷理-06 单-向量

本题导读

本题将物理中的共点力平衡问题转化为数学中的平面向量运算。核心在于利用平衡条件建立向量加减法关系，并求解向量的模。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(理)） 一质点受到平面上的三个力 ${\vec{F}}_1,{\vec{F}}_2,{\vec{F}}_3$（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态. 已知 ${\vec{F}}_1,{\vec{F}}_2$ 成 $60^{\circ }$ 角，且 ${\vec{F}}_1,{\vec{F}}_2$ 的大小分别为 2 和 4，则 ${\vec{F}}_3$ 的大小为 ()

A. 6　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. $2\sqrt{5}$　　　　　　　D. $2\sqrt{7}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据物理平衡条件，三力之和为零向量，即 ${\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2+{\vec{F}}_3=\vec{0}$。

2. 将未知力移项得 ${\vec{F}}_3=-({\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2)$，通过两边平方转化为已知向量的模与数量积运算。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因质点处于平衡状态，故 ${\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2+{\vec{F}}_3=\vec{0}$， 可得 ${\vec{F}}_3=-({\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2)$。 两边取模并平方得： $|{\vec{F}}_3{|}^2=|{\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2{|}^2=|{\vec{F}}_1{|}^2+|{\vec{F}}_2{|}^2+2{\vec{F}}_1\cdot {\vec{F}}_2$。 代入已知数据 $|{\vec{F}}_1|=2$，$|{\vec{F}}_2|=4$，$⟨{\vec{F}}_1,{\vec{F}}_2⟩=60^{\circ }$： $|{\vec{F}}_3{|}^2=2^2+4^2+2\times 2\times 4\times \cos 60^{\circ }$ $|{\vec{F}}_3{|}^2=4+16+2\times 2\times 4\times \frac{1}{2}=28$。 所以 $|{\vec{F}}_3|=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量加法的物理应用、向量模的代数运算法则。

2. 核心方法：利用公式 $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$ 进行模的求解。

3. 避坑指南：注意 ${\vec{F}}_3$ 与 ${\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2$ 互为相反向量，其大小（模）相等。切勿将合力的大小直接误算为代数和。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材中平面向量的应用举例——向量在物理力学中的速度与力合成模型的课后习题。

2. 结论推广：若三个共平面力满足平衡，且任意两力大小为 $a,b$，夹角为 $\theta$，则第三个力的大小必为 $\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \theta }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心