2009-广东卷理-08 单-导数

本题导读

本题利用物理中速度与位移的对应关系，考查定积分的几何意义。核心在于将两车的位置关系转化为 $v-t$ 图像中曲线与时间轴所围成的面积大小关系。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(理)） 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶. 甲车、乙车的速度曲线分别为 $v_{\text{甲}}$ 和 $v_{\text{乙}}$（如图所示）. 那么对于图中给定的 $t_0$ 和 $t_1$，下列判断中一定正确的是 ()

A. 在 $t_1$ 时刻，甲车在乙车前面　　B. $t_1$ 时刻后，甲车在乙车后面

C. 在 $t_0$ 时刻，两车的位置相同　　D. $t_0$ 时刻后，乙车在甲车前面

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确直线运动中，车辆的位移 $s(t)={\int }_0^{t}v(t)dt$，几何上表现为 $v-t$ 图像中曲线与 $t$ 轴所围图形的面积。

2. 比较在指定时刻（$t_0$ 或 $t_1$）两车速度曲线下方的面积大小，判定位置的前后。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

两车由同一起点同时出发，在 $t$ 时刻甲、乙两车的位移分别对应各自速度曲线在 $[0,t]$ 上与 $t$ 轴围成的图形面积。

1. 对于 $t_0$ 时刻：在 $[0,t_0]$ 区间内，甲车的速度曲线始终在乙车上方，即 $v_{\text{甲}}(t)>v_{\text{乙}}(t)$。因此，甲车曲线围成的面积大于乙车，表明在 $t_0$ 时刻甲车在乙车前面，且两车距离达到最大，故 C 错误；
2. 对于 $t_0$ 时刻后的一段时间：乙车速度虽然超过了甲车（$v_{\text{乙}}>v_{\text{甲}}$），乙车开始追赶甲车，但需要累积追赶面积。在 $t_0$ 到 $t_1$ 这一阶段，乙车比甲车多走的距离（两曲线在 $[t_0,t_1]$ 围成的面积）明显小于在 $[0,t_0]$ 阶段甲车比乙车多走的距离（两曲线在 $[0,t_0]$ 围成的面积）。
3. 综上，在 $[0,t_1]$ 整个区间上，甲车速度曲线下的总面积仍大于乙车总面积，即 ${\int }_0^{t_1}{v}_{\text{甲}}(t)dt>{\int }_0^{t_1}{v}_{\text{乙}}(t)dt$。因此在 $t_1$ 时刻，甲车仍在乙车前面，故 A 正确，B、D 错误。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：定积分的几何意义与微积分基本定理的物理背景。

2. 核心方法：利用图形面积的直观大小关系来比较定积分的大小。

3. 避坑指南：切勿将“速度相等”误认为“位置相同”。在 $t_0$ 时刻两曲线相交表示两车速度相等，此时两车距离最远，而非相遇。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于高中数学选修中定积分在物理运动学中的应用，是典型的数理交汇题，用以评价学生对图表信息的微积分审视能力。

2. 结论推广：若两物体同时同地出发，其速度差函数为 $g(t)=v_1(t)-v_2(t)$，当 $g(t_0)=0$ 时，两物体之间的距离 $d(t)=|{\int }_0^{t}g(x)dx|$ 取到极值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷理-08 单-导数综合
• 2011-北京卷理-18 解-导数
• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式