2009-广东卷理-09 填-程序框图

本题导读

本题结合程序框图的循环结构考查统计学中样本数字特征的计算公式。通过对循环过程的逐步递推，归纳出输出结果的数学代数式，并辨析其统计学意义。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(理)） 随机抽取某产品 $n$ 件，测得其长度分别为 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$，则如图所示的程序框图输出的 $s=$ $\underline{}$， $s$ 表示的样本的数字特征是$\underline{}$. (注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“$\leftarrow$”或“$:=$”)

🔍【思路分析】

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1. 依据框图给定的初始值，按循环路径逐步模拟前几次循环中变量 $s$ 的演变过程。

2. 归纳出一般规律，判定当 $i=n+1$ 时跳出循环所输出的 $s$ 的最终代数式，进而确定其对应的样本数字特征。

✅【答案】

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𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎𝑛𝑛，平均数

✍【详细解析】

Abstract

输入数据 $n,a_1,a_2,\dots ,a_n$，初始值 $s=0,i=1$。 第1次循环：满足 $1\le n$，$s=\frac{(1-1)\times 0+a_1}{1}=a_1$，$i=1+1=2$； 第2次循环：满足 $2\le n$，$s=\frac{(2-1)\times a_1+a_2}{2}=\frac{a_1+a_2}{2}$，$i=2+1=3$； 第3次循环：满足 $3\le n$，$s=\frac{(3-1)\times \frac{a_1+a_2}{2}+a_3}{3}=\frac{a_1+a_2+a_3}{3}$，$i=3+1=4$； 依此类推，第 $n$ 次循环：满足 $n\le n$，$s=\frac{(n-1)\times \frac{a_1+a_2+\cdots +a_{n-1}}{n-1}+a_n}{n}=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$，$i=n+1$； 此时判断条件 $n+1\le n$ 不成立，退出循环，输出 $s=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$（或 $\frac{1}{n}(a_1+a_2+\cdots +a_n)$）。 根据样本数字特征的定义，该式表示样本平均数。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：当型（或直到型）循环结构框图的识读、算术平均数的数学形式。

2. 核心方法：由特殊到一般的归纳推理法。

3. 避坑指南：注意框图内赋值语句中 $i-1$ 的动态变化，不要将上一轮的 $i$ 值与当前轮次混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中算法初步与统计学的交汇题型，是用计算机算法语言实现统计数据处理的典型实例。

2. 结论推广：若将循环体内的赋值语句修改为 $s=\frac{(i-1)s+a_i^2}{i}$，则最终输出的 $s$ 代表样本平方的和的平均数，可用于进一步计算样本方差。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎𝑛𝑛，平均数

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-06 单-程序框图累加
• 2011-北京卷理-04 单-程序框图
• 2011-天津卷文-03 单-程序框图循环