2009-广东卷理-10 填-向量

本题导读

本题考查平面向量的坐标线性运算。根据向量的方向限制与模长限制确立和向量的坐标，进而求得未知向量。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(理)） 若平面向量 $\vec{a},\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}+\vec{b}|=1$，$\vec{a}+\vec{b}$ 平行于 $x$ 轴，$\vec{b}=(2,-1)$，则 $\vec{a}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由 $\vec{a}+\vec{b}$ 平行于 $x$ 轴，确定其纵坐标为 0，结合模长为 1，求出和向量的两种可能坐标。

2. 利用向量减法 $\vec{a}=(\vec{a}+\vec{b})-\vec{b}$ 求解出 $\vec{a}$ 的坐标。

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$\vec{a}=(-1,1)$ 或 $(-3,1)$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\vec{a}+\vec{b}$ 平行于 $x$ 轴，所以可设 $\vec{a}+\vec{b}=(x_0,0)$。 又因为 $|\vec{a}+\vec{b}|=1$，所以 $\sqrt{x_0^2+0^2}=1⟹x_0=\pm 1$。 即 $\vec{a}+\vec{b}=(1,0)$ 或 $\vec{a}+\vec{b}=(-1,0)$。 已知 $\vec{b}=(2,-1)$， 当 $\vec{a}+\vec{b}=(1,0)$ 时，$\vec{a}=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)$； 当 $\vec{a}+\vec{b}=(-1,0)$ 时，$\vec{a}=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1)$。 综上所述，$\vec{a}=(-1,1)$ 或 $(-3,1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平行于坐标轴的向量的坐标表示、向量的模。

2. 核心方法：坐标解析法，分类讨论思想。

3. 避坑指南：由 $|\vec{a}+\vec{b}|=1$ 确定横坐标时，极易漏掉负值情况（即忽略了向量可以指向 $x$ 轴负方向），从而导致漏解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中平面向量正交分解与坐标运算的基础练习，考查对特殊方向向量特征的代数转化。

2. 结论推广：若平面向量 $\vec{a}+\vec{b}$ 平行于直线 $Ax+By+C=0$ 且模为 $m$，则可设 $\vec{a}+\vec{b}=\pm \frac{m}{\sqrt{A^2+B^2}}(-B,A)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心