2009-江西卷理-05 单-导数

本题导读

本题考查导数的几何意义及基本运算，核心在于将切线方程的斜率转化为函数在该点处的导数值。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(理)） 设函数 $f(x)=g(x)+x^2$, 曲线 $y=g(x)$ 在点 $(1,g(1))$ 处的切线方程为 $y=2x+1$, 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处切线的斜率为 ()

A. 4　　　　　　　B. $-\frac{1}{4}$　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. $-\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据曲线 $y=g(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程，提取斜率得到 $g^{\prime }(1)$。
2. 对 $f(x)$ 求导，代入 $x=1$ 和 $g^{\prime }(1)$ 的值，计算 $f^{\prime }(1)$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为曲线 $y=g(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程为 $y=2x+1$， 所以该点处切线的斜率 $g^{\prime }(1)=2$。 由 $f(x)=g(x)+x^2$，两边求导得： $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)+2x$ 代入 $x=1$，得： $f^{\prime }(1)=g^{\prime }(1)+2\times 1=2+2=4$。 故曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处切线的斜率为 4。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数在某点处导数的几何意义即为该点处切线的斜率。
2. 核心方法：利用导数的加法法则求导。
3. 避坑指南：切线方程中的常数项（截距）与求切线斜率无关，切勿将其误代入计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考常规的导数基础概念题。
2. 结论推广: 若已知函数在某点的切线方程 $y=kx+b$，则直接可得 $f^{\prime }(x_0)=k$ 以及 $f(x_0)=k{x}_0+b$ 两个重要条件。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷理-08 单-导数综合
• 2011-北京卷理-18 解-导数
• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式