2009-江西卷理-10 单-古典概型

本题导读

本题考查古典概型的概率计算，核心在于准确计算出5次随机抽取中包含全部3种卡片的基本事件数，采用“正难则反”的间接法或对卡片分布情况进行分类讨论的分组分配法均可有效求解。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(理)） 为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了 3 种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐 3 种卡片可获奖，现购买该种食品 5 袋，能获奖的概率为 ()

A. $\frac{31}{81}$　　　　　B. $\frac{33}{81}$　　　　　C. $\frac{48}{81}$　　　　　D. $\frac{50}{81}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算总基本事件数：购买5袋食品，每袋有3种可能，总情况为 $3^5$ 种。
2. 采用间接法：计算不能获奖（即只买到1种或2种卡片）的情况数。
3. 将不能获奖的情况分为“只有1种卡片”和“恰有2种卡片”，求和后用总数减去，最后作比求概率。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

基本事件总数为 $3^5=243$。 “不能获奖”包含以下两类对立事件： ① 5袋全是同一种卡片：共有 ${\mathrm{C}}_3^1=3$ 种情况。 ② 5袋恰好包含两种卡片：先选出这2种卡片有 ${\mathrm{C}}_3^2=3$ 种方法；在这2种卡片中任意排布有 $2^5=32$ 种，扣除只有其中1种的 2 种情况，实际分布方法为 $32-2=30$ 种。故此类共有 $3\times 30=90$ 种情况。 所以不能获奖的总情况数为 $3+90=93$ 种。 能获奖的情况数为 $243-93=150$ 种。 所求概率为 $P=\frac{150}{243}=\frac{50}{81}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型的定义，乘法原理与组合数公式。
2. 核心方法：间接法（容斥原理应用），将复杂事件分解为对立的简单事件。
3. 避坑指南：计算“恰有2种卡片”的情况时，极易忘记减去 $2^5$ 中包含的“只有1种”的 $2$ 种极端情况，导致结果错算为 $3\times 32=96$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典的“抽卡/盲盒”概率模型，属于高中数学排列组合中的“满射问题”简化版。
2. 结论推广: 一般地，将 $m$ 个不同元素分配到 $n$ 个不同集合中（$m⩾n$）且没有空集的方法数，可利用第二类斯特林数(Stirling numbers of the second kind)或容斥原理公式快速求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

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• 2011-重庆卷文-14 填-古典概型组合
• 2012-辽宁卷理-05 单-排列组合