2009-江西卷理-16 填-几何证明

本题导读

本题考查包含三角函数的直线系方程所代表的几何意义。关键在于通过点到直线的距离公式，将代数方程逆向识别为某圆的全体切线集合。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(理)） 设直线系 $M:x\cos \theta +(y-2)\sin \theta =1$ $(0⩽\theta ⩽2\pi )$，对于下列四个命题： A. $M$ 中所有直线均经过一个定点； B. 存在定点 $P$ 不在 $M$ 中的任一条直线上； C. 对于任意整数 $n$ $(n⩾3)$，存在正 $n$ 边形，其所有边均在 $M$ 中的直线上； D. $M$ 中的直线所能围成的正三角形面积都相等. 其中真命题的代号是$\underline{}$. (写出所有真命题的代号)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察直线系方程 $x\cos \theta +(y-2)\sin \theta -1=0$，计算点 $(0,2)$ 到该直线的距离，发现其恒为 1。
2. 由此确定 $M$ 表示以 $(0,2)$ 为圆心，半径为 1 的圆的全体切线。
3. 根据“圆的全体切线”这一几何本质，逐项分析四个命题的真假。

✅【答案】

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B, C, D

✍【详细解析】

Abstract

对于直线系 $M:x\cos \theta +(y-2)\sin \theta -1=0$， 计算点 $(0,2)$ 到该直线的距离 $d=\frac{|0\cdot \cos \theta +(2-2)\cdot \sin \theta -1|}{\sqrt{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }}=1$。 这表明 $M$ 中的每一条直线到点 $(0,2)$ 的距离都等于 1。 因此，直线系 $M$ 表示的是以 $(0,2)$ 为圆心、半径为 1 的圆 $C:x^2+(y-2{)}^2=1$ 的全体切线。 逐项判断： A选项：圆的全体切线不可能均经过同一个定点，命题错误。 B选项：圆内部的任意一点（例如圆心 $(0,2)$）都不可能在圆的任何一条切线上，故存在这样的定点 $P$，命题正确。 C选项：对于任意整数 $n⩾3$，总可以在圆外作该圆的外切正 $n$ 边形，其所在的边都是圆的切线，必然属于直线系 $M$，命题正确。 D选项：$M$ 中的直线所围成的正三角形，即为该圆的外切正三角形。同一个圆的所有外切正三角形全等，因此它们的面积都相等，命题正确。 综上，真命题的代号为 B, C, D。 故答案为 B, C, D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：解析几何中直线系方程的几何意义，圆的切线定义及性质。
2. 核心方法：逆向思维，利用点到直线的距离公式将含参等式转化为恒定距离的轨迹特征。
3. 避坑指南：面对含 $\sin \theta ,\cos \theta$ 的线性方程，不要试图解出变量关系，联想距离公式的分母 $\sqrt{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }=1$ 是破题的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高等几何中的包络线概念，一族直线的包络线就是它们共同相切的曲线，本题为包络线是圆的特例。
2. 结论推广: 方程 $(x-a)\cos \theta +(y-b)\sin \theta =r$ 恒代表以 $(a,b)$ 为圆心，$r$ 为半径的圆的全体切线系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考文-13 单-直线系数与象限的关系
• 2010-安徽卷文-04 单-平行直线系