2009-江西卷理-18 解-二项分布

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望。解题关键是将复杂的资助金额转化为二项分布模型，即发现“总资助金额等于总支持票数乘5万元”，从而大幅简化计算。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(理)） 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审. 假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 $\frac{1}{2}$. 若某人获得两个“支持”，则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予 5 万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令 $\xi$ 表示该公司的资助总额.

(1) 写出 $\xi$ 的分布列；

(2) 求数学期望 $E\xi$.

🔍【思路分析】

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1. 分析单名学生获资助情况，发现每名学生获资助额恰好等价于其获得的“支持”票数乘以 5 万元。
2. 三名学生总计接受 6 次独立评审，每次“支持”概率均为 $\frac{1}{2}$。总支持票数服从二项分布 $B(6,\frac{1}{2})$。
3. 建立总资助额与总票数的线性关系，依据二项分布求出各可能取值的概率，列出分布列，并利用性质求数学期望。

✅【答案】

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因此𝐸(𝜉) = 5𝐸(𝐾) = 5 × 6 × 12 = 15

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设一名大学生获得的“支持”票数为 $Y_i$ ($i=1,2,3$)，则 $Y_i\sim B(2,\frac{1}{2})$。 依题意，该生获得的资助金额为 $X_i=5Y_i$ (万元)。 该公司的资助总额 $\xi =X_1+X_2+X_3=5(Y_1+Y_2+Y_3)$。 令 $Y=Y_1+Y_2+Y_3$，则 $Y$ 表示三名学生获得的总“支持”票数。 由独立性可知，三名学生共接受 6 次独立评审，每次获得“支持”的概率为 $\frac{1}{2}$， 故 $Y$ 服从二项分布 $Y\sim B(6,\frac{1}{2})$。 $\xi$ 的所有可能取值为：0, 5, 10, 15, 20, 25, 30。 $P(\xi =5k)=P(Y=k)={\mathrm{C}}_6^k{\left(\frac{1}{2}\right)}^6=\frac{{\mathrm{C}}_6^k}{64}$ ($k=0,1,2,3,4,5,6$)。 具体概率如下： $P(\xi =0)=\frac{1}{64}$ $P(\xi =5)=\frac{6}{64}=\frac{3}{32}$ $P(\xi =10)=\frac{15}{64}$ $P(\xi =15)=\frac{20}{64}=\frac{5}{16}$ $P(\xi =20)=\frac{15}{64}$ $P(\xi =25)=\frac{6}{64}=\frac{3}{32}$ $P(\xi =30)=\frac{1}{64}$

故 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	5	10	15	20	25	30
$P$	$\frac{1}{64}$	$\frac{3}{32}$	$\frac{15}{64}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{15}{64}$	$\frac{3}{32}$	$\frac{1}{64}$

(2) 由 (1) 知 $\xi =5Y$，且 $Y\sim B(6,\frac{1}{2})$。 所以 $E(Y)=6\times \frac{1}{2}=3$。 根据期望的线性性质，得： $E\xi =E(5Y)=5E(Y)=5\times 3=15$。 即数学期望 $E\xi$ 为 15 万元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项分布模型识别，离散型随机变量的分布列与数学期望。
2. 核心方法：随机变量的线性组合与代换，利用二项分布期望公式 $E(X)=np$ 及 $E(aX+b)=aE(X)+b$ 简化计算。
3. 避坑指南：若直接通过枚举法计算三名学生各自的金额再求和，过程将极其繁琐且极易遗漏（例如求 $\xi =15$ 需要分别讨论 $(10,5,0),(5,5,5)$ 等多种排列组合）。敏锐地洞察到“金额 = 票数 $\times$ 5”且总票数服从二项分布是解本题的降维打击。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 江西卷经典的概率统计解答题，背景设置在评审投资领域，贴近实际应用。
2. 结论推广: 对于由多个独立同分布的伯努利试验组合而成的复杂分段计费/奖励模型，优先寻找收益与成功次数之间的线性关系，可以极大程度地简化分布列的推导与期望方差的求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

因此𝐸(𝜉) = 5𝐸(𝐾) = 5 × 6 × 12 = 15

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷理-17 解-期望