2009-浙江卷理-16 填-排列组合

本题导读

本题考查排列组合的实际应用。核心在于根据台阶人数限制对 3 名不同人员的分布形态进行完备分类，属于典型的计数问题。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(理)） 甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上, 若每级台阶最多站 2 人, 同一级台阶上的人不区分站的位置, 则不同的站法种数是$\underline{}$.(用数字作答)

🔍【思路分析】

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1. 3 名人员在 7 级台阶上的分布，且每级台阶最多 2 人，只有两种互斥的布局形态：一是 3 人分别站在 3 级不同的台阶上；二是其中 2 人站在同一级台阶，另外 1 人站在另一级台阶。

2. 分别计算两种布局下的排列组合数，最后利用分类加法计数原理求和。

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336

✍【详细解析】

Abstract

由于 3 个人分配到 7 级台阶，且每级台阶最多容纳 2 人，可分为以下两类情况讨论：

• 第一类情况：3 人分别站在 3 级不同的台阶上 相当于从 7 级台阶中任选 3 级安排这 3 个不同的人，属于排列问题： $N_1={\text{A}}_7^3=7\times 6\times 5=210\text{ 种}$

• 第二类情况：有 2 人站在同一级台阶，另 1 人站在另一级台阶 首先从 3 人中选出 2 人组合在同一级台阶，方法有 ${\text{C}}_3^2$ 种； 然后从 7 级台阶中任选 1 级安置这两人的组合，方法有 ${\text{C}}_7^1$ 种； 最后从剩下的 6 级台阶中任选 1 级安置剩下的一名同学，方法有 ${\text{C}}_6^1$ 种。 $N_2={\text{C}}_3^2\times {\text{C}}_7^1\times {\text{C}}_6^1=3\times 7\times 6=126\text{ 种}$

根据分类加法计数原理，总的不同站法种数为： $N=N_1+N_2=210+126=336$

答案为：336

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：有限制条件的排列组合、不均匀分组分配模型。

2. 核心方法：按照“单级台阶人数分布形态”进行无漏分类。

3. 避坑指南：题目明确“甲、乙、丙 3人”，说明人是相异的个体。在处理第二类情况时，必须先对人进行组合筛选（确定哪两个人同级），切勿漏掉 ${\text{C}}_3^2$ 这一步。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题由经典的“把 $n$ 个相异元素放入 $m$ 个有容量限制的格子中”的组合数学分配模型演变而来。

2. 结论推广: 若将 $k$ 个相异元素放入 $n$ 个互异的格子，每格最多放 2 人。当 $k=3$ 时，方案数通式为 ${\text{A}}_n^3+3{\text{A}}_n^2=n(n-1)(n-2)+3n(n-1)=n(n-1)(n+1)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2012-辽宁卷理-05 单-排列组合
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用