2013-北京卷理-12 填-排列组合应用

本题导读

本题考查排列组合应用，以及分类加法与分步乘法计数原理。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(理)） 将序号分别为 1, 2, 3, 4, 5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张.如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析分组模型：

   将 5 张不同的参观券分给 4 个人，且每人至少 1 张。根据抽屉原理，必然有 1 个人分到 2 张券，其余 3 人各分到 1 张券。

   这意味着我们需要将 5 张券分成 4 组，组内元素个数分别为 $\{2,1,1,1\}$。

2. 处理限制条件（连号）：

   题目要求分给同一人的那 2 张券必须是连号的。

   在序号 1, 2, 3, 4, 5 中，连号的情况有：$(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)$，共 4 种。

3. 执行分步计数：

   • 第一步：确定分到 2 张券的那一组的构成（选择连号组），有 $C_4^1=4$ 种选法。

   • 第二步：此时 5 张券已经转化为了 4 组对象（1 个连号对，3 个单张）。

   • 第三步：将这 4 组对象全排列分给 4 个人，有 $A_4^4$ 种方法。

✅【答案】

点击查看答案

96

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定分组方式

由于每人至少一张，分法只能是 $2+1+1+1$ 模式。

即有一人拿 2 张，另外三人各拿 1 张。

第二步：统计满足“连号”的 2 张券组合

从 $\{1,2,3,4,5\}$ 中选取两个连续数字组成一组，共有以下 4 种情况：

1. $\{1,2\}$

2. $\{2,3\}$

3. $\{3,4\}$

4. $\{4,5\}$

第三步：计算分配方案

选定其中一个连号组合后（例如选了 $\{1,2\}$），剩下的券为 $\{3\},\{4\},\{5\}$。

现在相当于有 4 个不同的元素（1 个双张组和 3 个单张组）分给 4 个不同的人。

这是一个全排列问题，方法数为 $A_4^4$。

总计计算：

$N=(\text{连号组的选法})\times (\text{分配给4人的方法})$

$N=4\times A_4^4=4\times (4\times 3\times 2\times 1)=4\times 24=96$

故答案为：96。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：有限制的排列组合问题。

核心方法：“先分组，后分配”。对于分配问题，通常先处理元素的分组（这里通过“捆绑法”处理连号），再将分好的组看作整体进行排列。

避坑指南：不要遗漏连号的情况（共有4对而不是5对）。此外，分给“4人”说明人是不同的，必须使用排列（或在组合分组后乘上 $4!$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：隔板法、排列与组合的区别。

结论推广：若 5 张票随机分配给 4 人且每人至少一张（无连号限制），则分法为 $C_5^2\times A_4^4=10\times 24=240$ 种。

方法推广：涉及“相邻”、“连号”等限制条件，优先使用“捆绑法”；涉及“不相邻”则使用“插空法”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2026-新高考II卷-06 单-排列组合
• 2025-上海卷-09 填-排列
• 2015-上海卷文-10 填-组合数