2009-湖北卷理-03 单-古典概型

本题导读

本题考查复数的代数运算、实数的概念，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(理)） 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 $m$ 和 $n$，则复数 $(m+ni)(n-mi)$ 为实数的概率为 ()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　B. $\frac{1}{4}$　　　　　　C. $\frac{1}{6}$　　　　　　D. $\frac{1}{12}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用复数乘法法则化简复数，提取出虚部。
2. 令虚部为 $0$，得到 $m,n$ 满足的条件，结合古典概型计算概率。

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C

✍【详细解析】

Abstract

化简复数： $(m+ni)(n-mi)=mn-m^{2}i+n^{2}i-mn{i}^2=2mn+(n^2-m^2)i$ 若该复数为实数，则其虚部为 $0$，即： $n^2-m^2=0⟹(n-m)(n+m)=0$ 由于骰子的点数 $m,n\in \{1,2,3,4,5,6\}$，故 $m+n>0$。 所以必有 $n-m=0⟹m=n$。 投掷两颗骰子的总基本事件数为 $6\times 6=36$ 种。 满足 $m=n$ 的基本事件有：$(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)$，共 $6$ 种。 故所求概率为 $P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$。 答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数为实数的充要条件（虚部为0），古典概型概率计算。
2. 核心方法：复数代数式化简，基本事件穷举法。
3. 避坑指南：在化简复数时注意 $i^2=-1$，切忌将实部与虚部弄错；骰子点数均为正整数，可直接排除 $m+n=0$ 的可能。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由复数的基本运算与概率初等模型组合而成的创新题。
2. 结论推广：复数 $(m+ni)(n-mi)=-i(m+ni{)}^2$。要使 $-i{z}^2$ 为实数，则 $z^2$ 必须为纯虚数，即 $z=m+ni$ 位于坐标轴或角平分线上，由于 $m,n>0$，故必有 $m=n$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-19 解-复数运算
• 2011-上海卷理-19 解-复数
• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算