2009-湖北卷理-10 单-等差数列

本题导读

本题考查归纳推理与新定义、等差数列求和公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(理)） 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如： （图1、图2 详见原题图） 他们研究过图 1 中的 $1,3,6,10,\cdots$，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 $1,4,9,16,\cdots$ 这样的数成为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ()

A. 289　　　　　　B. 1024　　　　　　C. 1225　　　　　　D. 1378

🔍【思路分析】

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1. 归纳出三角形数与正方形数的通项公式。
2. 结合选择题特点，优先排除不是正方形数（完全平方数）的选项，再验证剩余选项是否满足三角形数的特征。

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C

✍【详细解析】

Abstract

由图 1 规律可知，第 $k$ 个三角形数为前 $k$ 个正整数的和，通项公式为： $T_k=1+2+3+\cdots +k=\frac{k(k+1)}{2}(k\in {\mathbf{N}}^{\ast })$ 由图 2 规律可知，第 $m$ 个正方形数的通项公式为： $S_m=m^2(m\in {\mathbf{N}}^{\ast })$ 设所求数为 $N$，则 $N$ 既是完全平方数，又满足 $N=\frac{k(k+1)}{2}$。 分析选项：

• A 选项：$289=17^2$。令 $\frac{k(k+1)}{2}=289⟹k(k+1)=578$。由于 $23\times 24=552$，$24\times 25=600$，无正整数解。
• B 选项：$1024=32^2$。令 $\frac{k(k+1)}{2}=1024⟹k(k+1)=2048$。由于 $44\times 45=1980$，$45\times 46=2070$，无正整数解。
• C 选项：$1225=35^2$。令 $\frac{k(k+1)}{2}=1225⟹k(k+1)=2450$。由于 $49\times 50=2450$，解得 $k=49\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，符合题意。
• D 选项：$1378$ 不是完全平方数（$\sqrt{1378}\approx 37.12$），直接排除。 答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数列通项公式的归纳，完全平方数与连续整数积的性质。
2. 核心方法：穷举验证与选择题逆向排除法。
3. 避坑指南：切忌盲目去解不定方程 $\frac{k(k+1)}{2}=m^2$（此为佩尔方程，直接求解难度极高），借助选择题选项代入验证是最快、最准的策略。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于数论中经典的“平方三角形数（Square triangular number）”问题。
2. 结论推广：既是三角形数又是正方形数的数满足方程 $k(k+1)=2m^2$，可化为标准 Pell 方程 $(2k+1{)}^2-8m^2=1$。其前几项正整数解组成的序列为：$1,36,1225,41616,\cdots$。本题中的 1225 恰为第三个平方三角形数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-22 解-等差数列
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件
• 2011-大纲卷文-06 单-等差数列片段和