2009-湖南卷文-14 填-解三角形范围

本题导读

考查解三角形。$AC=2\cos A$，故 $\frac{AC}{\cos A}=2$；$A\in \left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right)$ 给出 $AC\in (\sqrt{2},\sqrt{3})$。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(文)） 在锐角 $△ABC$ 中，$BC=1$，$B=2A$，则 $\frac{AC}{\cos A}$ 的值等于　　　　，$AC$ 的取值范围为　　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $A=\alpha$，则 $B=2\alpha$，$C=\pi -3\alpha$；锐角条件给 $\frac{\pi }{6}<\alpha <\frac{\pi }{4}$。
2. 正弦定理：$\frac{AC}{\sin 2\alpha }=\frac{BC}{\sin \alpha }=\frac{1}{\sin \alpha }$，得 $AC=2\cos \alpha$。
3. 故 $\frac{AC}{\cos A}=2$。
4. $\cos \alpha$ 在 $\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right)$ 上递减，得 $\sqrt{2}<AC<\sqrt{3}$。

✅【答案】

点击查看答案

$2$；$(\sqrt{2},\sqrt{3})$

✍【详细解析】

Abstract

设 $A=\alpha$，则 $B=2\alpha$，$C=\pi -3\alpha$。 由锐角三角形：$0<\alpha <\frac{\pi }{4}$ 且 $0<\pi -3\alpha <\frac{\pi }{2}$，解得 $\frac{\pi }{6}<\alpha <\frac{\pi }{4}$。 由正弦定理，$BC$ 与 $AC$ 分别为角 $A$，$B$ 的对边，故 $\frac{AC}{\sin 2\alpha }=\frac{BC}{\sin \alpha }=\frac{1}{\sin \alpha }$，于是 $AC=\frac{\sin 2\alpha }{\sin \alpha }=2\cos \alpha$， 从而 $\frac{AC}{\cos A}=2$。 又 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right)$，余弦函数在该区间上递减， 所以 $\sqrt{2}=2\cos \frac{\pi }{4}<AC<2\cos \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}$，即 $AC$ 的取值范围为 $(\sqrt{2},\sqrt{3})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理与角的取值范围

核心方法：$AC=\frac{\sin 2\alpha }{\sin \alpha }=2\cos \alpha$，锐角条件定 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right)$

避坑指南：$\frac{AC}{\cos A}=2$ 是定值；范围由 $\cos \alpha$ 的单调递减区段给出 $(\sqrt{2},\sqrt{3})$，开区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“锐角三角形”给三个角都小于 $\frac{\pi }{2}$ 的约束，$B=2A$ 时主要卡 $C=3\frac{\pi }{3}$ 段。

结论推广：范围题先定参数角区间，再谈边的范围，顺序不能反。

方法推广：端点取不到：$A=\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{\pi }{4}$ 时三角形退化出直角，故开区间。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-18 解-解三角形求边
• 2009-大纲卷II文-18 解-解三角形求角
• 2009-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形
• 2009-山东卷文-17 解-三角变换与解三角形