2009-山东卷文-17 解-三角变换与解三角形

本题导读

考查恒等变换与解三角形。$f(x)=\sin (x+\phi )$ 在 $x=\pi$ 取最小值得 $\phi =\frac{\pi }{2}$；$\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$C=\frac{\pi }{12}$ 或 $\frac{7\pi }{12}$。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(文)） 已知函数 $f(x)=2\sin x{\cos }^2\frac{\phi }{2}+\cos x\sin \phi -\sin x$（$0<\phi <\pi$）在 $x=\pi$ 处取最小值.

(1)求 $\phi$ 的值；

(2)在 $△ABC$ 中，$a$，$b$，$c$ 分别是角 $A$，$B$，$C$ 的对边.已知 $a=1$，$b=\sqrt{2}$，$fA.=\frac{\sqrt{3}}{2}$，求角 $C$.

🔍【思路分析】

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1. (1) $2{\cos }^2\frac{\phi }{2}=1+\cos \phi$，代入整理得 $f(x)=\sin (x+\phi )$。
2. 在 $x=\pi$ 取最小值 $-1$：$\sin (\pi +\phi )=-1$，$\pi +\phi \in (\pi ,2\pi )$，故 $\pi +\phi =\frac{3\pi }{2}$，$\phi =\frac{\pi }{2}$。
3. (2) $f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos x$，$\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$A=\frac{\pi }{6}$。
4. 正弦定理：$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\sqrt{2}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$B=\frac{\pi }{4}$ 或 $\frac{3\pi }{4}$。
5. $C=\pi -A-B$：$C=\frac{7\pi }{12}$ 或 $\frac{\pi }{12}$。

✅【答案】

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(1) $\phi =\frac{\pi }{2}$；(2)$C=\frac{\pi }{12}$ 或 $C=\frac{7\pi }{12}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由二倍角公式 $2{\cos }^2\frac{\phi }{2}=1+\cos \phi$，得 $f(x)=(1+\cos \phi )\sin x+\sin \phi \cos x-\sin x=\cos \phi \sin x+\sin \phi \cos x=\sin (x+\phi )$。 函数 $\sin (x+\phi )$ 的最小值为 $-1$。由题设在 $x=\pi$ 处取得最小值，故 $\sin (\pi +\phi )=-1$。 又 $0<\phi <\pi$，$\pi +\phi \in (\pi ,2\pi )$，所以 $\pi +\phi =\frac{3\pi }{2}$，即 $\phi =\frac{\pi }{2}$。 （2）由（1），$f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos x$。 因为 $0<A<\pi$ 且 $f(A)=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以 $\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$A=\frac{\pi }{6}$。 由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}$，得 $\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\sqrt{2}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$， 故 $B=\frac{\pi }{4}$ 或 $B=\frac{3\pi }{4}$。 相应地 $C=\pi -A-B=\frac{7\pi }{12}$ 或 $C=\frac{\pi }{12}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换与正弦定理

核心方法：降幂合并化 $f(x)=\sin (x+\phi )$；最小值点定 $\phi$；正弦定理双解

避坑指南：$2{\cos }^2\frac{\phi }{2}=1+\cos \phi$ 是化简的钥匙；$\sin (\pi +\phi )=-1$ 且 $\pi +\phi \in (\pi ,2\pi )$ 定 $\phi =\frac{\pi }{2}$；$\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 给 $B$ 的双解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：题给”在 $x=\pi$ 取最小值”先翻译成 $\sin (\pi +\phi )=-1$，再核对 $\phi$ 的范围取舍。

结论推广：已知两边与一边对角（$a$，$b$，$A$）时，用正弦定理可能出两解，逐一算 $C$。

方法推广：$B=\frac{3\pi }{4}$ 时 $A+B=\frac{5\pi }{6}<\pi$，两解都合法，不能凭感觉舍。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

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• 2009-天津卷文-17 解-正余弦定理二倍角
• 2009-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形
• 2009-江苏卷-15 解-向量与三角恒等