2009-湖南卷理-01 单-对数

本题导读

本题考查对数不等式、指数不等式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(理)） 若 ${\log }_{2}a<0,{\left(\frac{1}{2}\right)}^b>1$，则 ()

A. $a>1,b>0$　　　　　　　　　　　　　B. $a>1,b<0$

C. $0<a<1,b>0$　　　　　　　　　　　D. $0<a<1,b<0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据对数函数的单调性，由 ${\log }_{2}a<0$ 解出 $a$ 的取值范围。
2. 根据底数小于 1 的指数函数的单调性，由 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^b>1$ 解出 $b$ 的取值范围。

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 ${\log }_{2}a<0={\log }_{2}1$，根据对数函数 $y={\log }_{2}x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，得 $0<a<1$。 由 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^b>1={\left(\frac{1}{2}\right)}^0$，根据指数函数 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减，得 $b<0$。 综上所述，$0<a<1$ 且 $b<0$。 答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数函数与对数函数的单调性。
2. 核心方法：函数单调性法。
3. 避坑指南：解对数不等式时注意真数必须大于 0 的隐含条件（即 $a>0$）；指数底数小于 1 时，不等号方向需要改变。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于高一必修一函数性质章节的基本练习题，通过初等超越不等式考查基础定义。
2. 结论推广：对于 $y={\log }_{m}x$ 与 $y=n^x$，当 $m>1$ 且 $0<n<1$ 时，${\log }_{m}a<0⟹0<a<1$，$n^b>1⟹b<0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-03 单-对数不等式比较
• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数