2011-北京卷文-03 单-对数不等式比较

本题导读

本题考查对数函数的单调性，以及不等式的性质。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(文)） 如果 ${\log }_{\frac{1}{2}}x<{\log }_{\frac{1}{2}}y<0$，那么 ()

A. $y<x<1$　　　　　B. $x<y<1$　　　　　C. $1<x<y$　　　　　D. $1<y<x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：$y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ 递减：${\log }_{\frac{1}{2}}x<{\log }_{\frac{1}{2}}y\Rightarrow x>y$
2. 步骤2：再由小于 $0$ 得均大于 $1$

✅【答案】

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D$1<y<x$

✍【详细解析】

Abstract

底数 $\frac{1}{2}\in (0,1)$，${\log }_{\frac{1}{2}}x$ 单调递减。

由 ${\log }_{\frac{1}{2}}x<{\log }_{\frac{1}{2}}y$ 得 $x>y$；由 ${\log }_{\frac{1}{2}}y<0={\log }_{\frac{1}{2}}1$ 得 $y>1$。

故 $1<y<x$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数的单调性与特殊值 ${\log }_{a}1=0$

核心方法：减函数去对数变号：真数同向反向要看底；与 $0$ 比较翻译成与 $1$ 比较

避坑指南：底小于 $1$ 时”取对数不等号反向”是最易错点：$x>y$ 而非 $x<y$；${\log }_{\frac{1}{2}}y<0$ 说明 $y>1$ 而不是 $y<1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数比较大小与 2012-天津卷文-04（指对数比较大小）、2013-新课标II卷文-08（对数比较大小）同族。

结论推广：推广：${\log }_{a}x<{\log }_{a}y<0$，$a\in (0,1)$ 时 $x>y>1$；$a>1$ 时 $1>x>y>0$。四类结论可整体记忆。

方法推广：对数不等式小题：先看底与 $1$ 的大小定单调方向，再让真数与”使对数为 $0$ 的真数（即 $1$）“比较。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-04 单-指对数比较大小
• 2013-新课标II卷文-08 单-对数比较大小