2009-湖南卷理-05 单-排列组合

本题导读

本题考查排列组合、有限制条件的组合问题，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(理)） 从 10 名大学毕业生中选 3 个人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 ()

A. 85　　　　　　　B. 56　　　　　　　C. 49　　　　　　　D. 28

🔍【思路分析】

破题导航

1. 排除明确不入选的元素（丙），缩减候选人集合。
2. 利用间接法，用总选法数减去“甲、乙两人均未入选”的选法数。

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C

✍【详细解析】

Abstract

因丙没有入选，故只需从剩余的 9 名毕业生中挑选 3 人，总选法种数为： ${\mathrm{C}}_9^3=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=84$ 其中，甲、乙两名学生均没有入选的选法，相当于从除去甲、乙、丙后的 7 名学生中任选 3 人，选法种数为： ${\mathrm{C}}_7^3=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35$ 故甲、乙至少有 1 人入选的不同选法种数为： $84-35=49$ 答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：组合数公式，间接计数原理（正难则反）。
2. 核心方法：总数扣除法。
3. 避坑指南：直接分类讨论（恰有1人、入选2人）时容易重复计数或遗漏，采用间接法时需注意从 10 人中精准扣除丙之后再进行整体计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于高二选修课本中关于“排列组合应用题”的经典限制条件模型（“含有”与“不含有”）。
2. 结论推广：从 $N$ 个不同元素中任选 $m$ 个元素，要求其中 $A$ 个特定元素不入选，$B$ 个特定元素至少有 1 个入选，其不同选法种数为 ${\mathrm{C}}_{N-A}^m-{\mathrm{C}}_{N-A-B}^m$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2012-辽宁卷理-05 单-排列组合
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用