2009-湖南卷理-13 填-古典概型

本题导读

本题考查分层抽样、古典概型与组合计数，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(理)） 一个总体分为 $A,B$ 两层，其个体数之比为 $4:1$，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本. 已知 $B$ 层中甲、乙都被抽到的概率为 $\frac{1}{28}$，则总体中的个体数为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据分层抽样的比例，确定样本中 $B$ 层应抽取的个体数。
2. 结合古典概型公式，建立关于 $B$ 层总个体数的组合数方程，求解后推出总体个体数。

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40

✍【详细解析】

Abstract

设总体中的个体数为 $N$，则 $B$ 层中的个体数为 $N_B=\frac{1}{5}N$。 根据分层抽样按比例抽取的原则，从 $B$ 层中抽取的样本容量为： $n_B=10\times \frac{1}{5}=2$ 从 $B$ 层 $N_B$ 个个体中随机抽取 2 个，甲、乙两特定个体都被抽到的概率为： $P=\frac{1}{{\mathrm{C}}_{N_B}^2}=\frac{1}{28}$ 所以 ${\mathrm{C}}_{N_B}^2=28⟹\frac{N_B(N_B-1)}{2}=28⟹N_B(N_B-1)=56$。 解得 $N_B=8$（负值舍去）。 故总体中的个体数为 $N=5N_B=5\times 8=40$。 答案：40

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分层抽样每层抽样人数的比例分配，古典概型的组合数公式。
2. 核心方法：逆向参数方程法。
3. 避坑指南：计算概率时，因为甲乙两个人都明确属于 $B$ 层，直接在 $B$ 层内使用组合数进行古典概型计算即可，不需要考虑 $A$ 层的抽取情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中统计与概率交汇的基础应用题，用古典概型的抽样模型深化了对分层抽样比例性质的理解。
2. 结论推广：若总体中某层占比为 $p$，样本容量为 $n$，该层特定 $m$ 个元素同时被抽到的概率为 $1/{\mathrm{C}}_{np}^m$，可直接求得该层的总个体数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-重庆卷文-14 填-古典概型组合
• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2011-天津卷文-15 解-列举法与古典概型