2009-湖南卷理-15 填-等差数列

本题导读

本题考查归纳推理与创新题型、等差数列的性质与求和，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(理)） 将正 $△ABC$ 分割成 $n^2$ ($n\ge 2,n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$) 个全等的小正三角形（图 1，图 2 分别给出了 $n=2,3$ 的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于 $△ABC$ 的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于 3 时）都分别依次成等差数列. 若顶点 $A,B,C$ 处的三个数互不相同且和为 1，记所有顶点上的数之和为 $f(n)$，则有 $f(2)=2,f(3)=$ $\underline{}$, $\dots$, $f(n)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立关于点阵中数的位置线性模型。由于任意平行线上均成等差数列，顶点的数值可以视作其重心坐标的线性组合。
2. 利用对称性，所有节点的三个分量之和相等，进而将整体求和转化为节点总数与顶点和的关系式。

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$\frac{10}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

在边长为 $n$ 的正三角形网格中，每个顶点可以用三线坐标 $(i,j,k)$ 表示，其中 $i+j+k=n$ ($i,j,k\in \mathbf{N}$)。 由于每一条平行线上均成等差数列，任意位置 $(i,j,k)$ 处的数值 $v(i,j,k)$ 必为关于坐标的线性函数： $v(i,j,k)=i\alpha +j\beta +k\gamma$ 在大三角形的三个顶点 $A,B,C$ 处，坐标分别为 $(n,0,0),(0,n,0),(0,0,n)$。 则三个顶点的数值分别为 $n\alpha ,n\beta ,n\gamma$。 已知三个顶点的数之和为 1，即： $n\alpha +n\beta +n\gamma =1⟹\alpha +\beta +\gamma =\frac{1}{n}$ 所有顶点上的数之和 $f(n)$ 为： $f(n)={\sum }_{i+j+k=n}(i\alpha +j\beta +k\gamma )$ 由对称性可知，在所有顶点的坐标组合中，各分量总和相等，即 $\sum i=\sum j=\sum k$。 整个网格中的顶点总数为 $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$，其中所有顶点的第一个坐标分量之和为： ${\sum }_{i+j+k=n}i=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$ 因此，整个点阵的所有数之和为： $f(n)=\left(\sum i\right)(\alpha +\beta +\gamma )=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}\times \frac{1}{n}=\frac{(n+1)(n+2)}{6}$ 代入 $n=3$ 得： $f(3)=\frac{(3+1)(3+2)}{6}=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}$ 通项公式为： $f(n)=\frac{(n+1)(n+2)}{6}(\text{或 }\frac{n^2+3n+2}{6})$ 答案：$\frac{10}{3}$ ； $\frac{(n+1)(n+2)}{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多维等差点阵的求和，对称性在组合计数与求和中的应用。
2. 核心方法：重心坐标法，特殊到一般的归纳法（亦可通过 $n=2,3$ 基础计算直接进行二次多项式待定系数拟合）。
3. 避坑指南：切忌盲目把每个位置的数单独硬算出来。利用“各平行线皆为等差数列”归结出数值关于位置具有线性面特征，进而采用对称求和是破局关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于离散数学中的格点求和与代数学中的齐次线性形式。其高等数学背景是三角网格上的线性插值（Linear interpolation on triangular meshes）。
2. 结论推广：若正多边形被划分为规则网格且满足任意方向线性等差，则内部所有节点的平均值等于各顶点数值的算术平均值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-22 解-等差数列
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件
• 2011-大纲卷文-06 单-等差数列片段和