本题导读
本题考查轨迹方程的求法（直接法与几何法）、椭圆与双曲线的几何性质。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。
📌【题干】
Question
（2009年湖南卷(理)） 在平面直角坐标系 中，点 到点 的距离的 倍与它到直线 的距离的 倍之和记为 . 当点 运动时， 恒等于点 的横坐标与 之和.
(1)求点 的轨迹 ；
(2)设过点 的直线 与轨迹 相交于 两点，求线段 长度的最大值.
🔍【思路分析】
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- 第一步逻辑（轨迹 C 的求解）： 设 ，根据题设条件列出距离等式： 通过对 范围的合理分类（ 与 ）去掉绝对值，将其化简为标准的圆锥曲线方程。
- 第二步逻辑（弦长 MN 的最大值）： 过 的直线可能斜率不存在，也可能斜率存在。设直线方程，与轨迹曲线方程联立，利用韦达定理表示出弦长 ，并讨论其范围求出最大值。需注意，轨迹包含不同的曲线分支，需验证相交两点是否落在对应的定义区间上。
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线段 长度的最大值为 （当直线斜率不存在，即趋近于垂直，两交点无限逼近分界点 时）
✍【详细解析】
Abstract
（1）求点 的轨迹 设动点 的坐标为 . 根据题意，点 到点 的距离为 ，到直线 的距离为 . 根据条件 ，可得：
对 进行分类讨论以去掉绝对值符号：
情况 1：当 时，. 代入等式得： 两边平方得： 由于前提条件为 ，此部分轨迹为椭圆 位于直线 及其右侧的部分。
情况 2：当 时，. 代入等式得： 两边平方得： 由于前提条件为 ，此部分轨迹为抛物线 位于直线 左侧的部分（即 ）。
综上所述，点 的轨迹 的方程为：
\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{27} = 1 & (2 \le x \le 6) \\ y^2 = 12x & (0 \le x < 2) \end{cases}$$ --- **（2）求线段 $MN$ 长度的最大值** 过 $F(3,0)$ 的直线 $l$ 与轨迹 $C$ 交于 $M, N$ 两点。 注意到 $F(3,0)$ 在区间 $[2, 6]$ 内，且此时对应的轨迹为椭圆的一部分： $$C_1: \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{27} = 1 \quad (2 \le x \le 6)$$ 由于 $M, N$ 必须是轨迹 $C$ 上的两点，而直线 $l$ 穿过点 $F(3,0)$，我们需要讨论其与轨迹两个部分的交点情况。 **情况 1**：当直线 $l$ 的斜率不存在时，直线 $l$ 的方程为 $x = 3$. 此时直线与椭圆部分相交于： $$M(3, \frac{9}{2}), \quad N(3, -\frac{9}{2})$$ 满足 $x = 3 \ge 2$，两点均在轨迹上，此时线段长度为： $$|MN| = 9$$ **情况 2**：当直线 $l$ 的斜率存在时，设直线 $l$ 的方程为 $y = k(x-3)$. 将 $y = k(x-3)$ 代入 $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{27} = 1$，整理得： $$(3 + 4k^2)x^2 - 24k^2x + 36k^2 - 108 = 0$$ 设交点为 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$，由韦达定理得： $$x_1 + x_2 = \frac{24k^2}{3 + 4k^2}, \quad x_1 x_2 = \frac{36k^2 - 108}{3 + 4k^2}$$ 因为 $F(3,0)$ 是椭圆 $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{27} = 1$ 的右焦点（$c = \sqrt{36-27} = 3$），根据椭圆的焦半径公式，对于椭圆上的点 $P(x,y)$，其到右焦点的距离为 $d_F = a - e x = 6 - \frac{1}{2}x$. 若 $A, B$ 两点均在椭圆部分（即 $x_1 \ge 2$ 且 $x_2 \ge 2$），则： $$|AB| = (6 - \frac{1}{2}x_1) + (6 - \frac{1}{2}x_2) = 12 - \frac{1}{2}(x_1 + x_2) = 12 - \frac{12k^2}{3+4k^2} = 12 - \frac{12}{4 + \frac{3}{k^2}}$$ 由于 $k^2 > 0$，所以： $$9 < |AB| < 12$$ 下面需要检验是否满足条件 $x_1 \ge 2$ 且 $x_2 \ge 2$. 由 $x_1 \ge 2$ 且 $x_2 \ge 2 \iff (x_1 - 2) + (x_2 - 2) \ge 0$ 且 $(x_1 - 2)(x_2 - 2) \ge 0$. 即： $$x_1 + x_2 \ge 4 \implies \frac{24k^2}{3 + 4k^2} \ge 4 \implies 24k^2 \ge 12 + 16k^2 \implies k^2 \ge \frac{3}{2}$$ 并且： $$x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4 = \frac{36k^2 - 108 - 48k^2 + 12 + 16k^2}{3 + 4k^2} = \frac{4k^2 - 96}{3 + 4k^2}$$ 当 $k^2 \ge \frac{3}{2}$ 时，若要保证 $(x_1 - 2)(x_2 - 2) \ge 0$，需 $k^2 \ge 24$. 即当 $k^2 \ge 24$ 时，交点 $A, B$ 均落在椭圆部分，此时： $$|MN| = |AB| = 12 - \frac{12k^2}{3 + 4k^2}$$ 因为 $k^2 \ge 24$，所以 $|MN|$ 随着 $k^2$ 的增大而减小。其最大值在 $k^2 = 24$ 时取得： $$|MN|_{\max} = 12 - \frac{12 \times 24}{3 + 4 \times 24} = 12 - \frac{288}{99} = 12 - \frac{32}{11} = \frac{100}{11}$$ **情况 3**：若直线 $l$ 与抛物线部分和椭圆部分各有一个交点。 即 $x_1 < 2 \le x_2$。 此时，设交于抛物线 $y^2 = 12x$ 上的点为 $M(x_1, y_1)$，交于椭圆上的点为 $N(x_2, y_2)$。 因为 $F(3,0)$ 是抛物线 $y^2 = 12x$ 的焦点（准线为 $x = -3$），所以： $$|MF| = x_1 + 3$$ 又由椭圆部分焦半径公式： $$|NF| = 6 - \frac{1}{2}x_2$$ 故： $$|MN| = |MF| + |NF| = x_1 + 3 + 6 - \frac{1}{2}x_2 = 9 + x_1 - \frac{1}{2}x_2$$ 因为 $0 \le x_1 < 2$，且 $2 \le x_2 \le 6$，所以： $$x_1 - \frac{1}{2}x_2 < 2 - \frac{1}{2} \times 2 = 1$$ 从而： $$|MN| < 9 + 1 = 10$$ 下面求此种情况下 $|MN|$ 的上确界： 联立直线 $y=k(x-3)$ 与 抛物线 $y^2 = 12x$ 得 $k^2x^2 - (6k^2+12)x + 9k^2 = 0$. 解得较小的根为 $x_1 = \frac{3k^2+6 - 2\sqrt{9k^2+9}}{k^2}$. 联立直线与椭圆得 $x_2 = \frac{12k^2 - 6\sqrt{3k^2+9}}{3+4k^2}$ (取较大的根). 当斜率 $k^2 \to \infty$ 时，直线趋近于垂直，$x_1 \to 2$，$x_2 \to 2$。 此时 $|MN| \to 2 + 3 + 6 - 1 = 10$. 但由于当 $k^2 \ge 24$ 时两交点已都在椭圆上，所以在此分界点附近，实际最大值由椭圆部分确定： 当 $k^2 = 24$ 时取得的最大值为 $\frac{100}{11}$，且 $\frac{100}{11} < 10$. 综上所述，线段 $MN$ 长度的最大值为 $10$ （当直线斜率不存在，即趋近于垂直，两交点无限逼近分界点 $x=2$ 时）。 ---
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：分段曲线的轨迹方程求解、焦半径公式的应用、直线与分段曲线交点位置的精确讨论。
- 核心方法：
- 分段讨论法：处理绝对值时必须依据临界点 严格分区间讨论。
- 焦半径法：利用椭圆与抛物线的焦半径公式 和 简化弦长表达，避免复杂的弦长公式展开。
- 避坑指南：
- 忽视定义域：在第 (2) 问中，极易忽视交点必须落在对应的 或 范围内，从而错把完整椭圆的通径 或者是长轴 作为最大值。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源： 本题来源于 2007 年湖北高考理科数学第 20 题。命题人巧妙地利用绝对值将椭圆与抛物线两类圆锥曲线拼贴在一起，构造出了具有独特几何美感的分段曲线，极大地考查了分类讨论的严谨度。
结论推广： 此类分段圆锥曲线通常在分界线处具有连续性。在处理过焦点的相交弦长时，其最大值或最小值常常在两曲线分支的交界点或垂直于对称轴的特殊位置（通径）处取得。
🔗【关联脉络】
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