2012-山东卷理-10 单-椭圆与双曲线

本题导读

本题考查椭圆的离心率与双曲线渐近线的综合，以及几何面积的建立。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(理)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$.双曲线 $x^2-y^2=1$ 的渐近线与椭圆 $C$ 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 $16$，则椭圆 $C$ 的方程为()

A. $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$ B. $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{6}=1$ C. $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ D. $\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由离心率 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 得 $b=\frac{a}{2}$。
2. 渐近线 $y=\pm x$ 与椭圆求交点。
3. 由四边形面积 $16$ 求 $a,b$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4}$，即 $b=\frac{a}{2}$。 渐近线 $y=x$ 与椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 交点：$x^2=\frac{a^2{b}^2}{a^2+b^2}=\frac{a^2\cdot \frac{a^2}{4}}{a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{a^2}{5}$。 四个交点为 $(\pm \frac{a}{\sqrt{5}},\pm \frac{a}{\sqrt{5}})$，围成菱形，面积 $=\frac{1}{2}\cdot \frac{2a}{\sqrt{5}}\cdot \frac{2a}{\sqrt{5}}=\frac{2a^2}{5}=16$，得 $a^2=40$。 $b^2=\frac{a^2}{4}=10$，椭圆 $\frac{x^2}{40}+\frac{y^2}{10}=1$，即 $\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的离心率

核心方法：双曲线的渐近线

避坑指南：四边形面积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于椭圆与双曲线综合

结论推广：可推广到两曲线交点围成图形

方法推广：离心率 $e=\frac{c}{a}$ 与 $a^2=b^2+c^2$ 联立

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2007-江苏卷-03 单-双曲线渐近线离心率
• 2008-大纲卷I文-22 解-双曲线渐近线弦长
• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率