2009-福建卷理-03 单-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的性质、等差数列前n项和公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(理)） 等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $S_3=6,a_3=4$, 则公差 $d$ 等于 ()

A. 1　　　　　　　B. $\frac{5}{3}$　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用等差数列前 $n$ 项和公式 $S_3=\frac{3(a_1+a_3)}{2}$ 求出首项 $a_1$。

2. 利用通项公式 $a_3=a_1+2d$ 构建关于公差 $d$ 的方程进行求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由等差数列求和公式得： $S_3=\frac{3(a_1+a_3)}{2}=6$. 将 $a_3=4$ 代入上式得： $\frac{3(a_1+4)}{2}=6⟹3(a_1+4)=12⟹a_1+4=4⟹a_1=0$. 再根据通项公式有： $a_3=a_1+2d⟹4=0+2d⟹2d=4⟹d=2$. 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列的求和公式 $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ 与基本量思想。

2. 核心方法：知三求二，通过联立未知数 $a_1$ 和 $d$ 求解。

3. 避坑指南：识别题目图象时注意区分下标，本题所给条件为 $a_3=4$ 而非 $a_1=4$，代入公式时不可混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中等差数列前 $n$ 项和的标准例题，重点考查公式的基本逆向运用。

2. 结论推广：在等差数列中，已知 $S_{2k-1}$ 和 $a_{2k-1}$，则其首项必满足 $a_1=\frac{2S_{2k-1}}{2k-1}-a_{2k-1}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-22 解-等差数列
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件
• 2011-大纲卷文-06 单-等差数列片段和