2009-福建卷理-04 单-微积分基本定

本题导读

本题考查微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）、定积分的几何意义，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(理)） ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(1+\cos x)\text{d}x$ 等于 ()

A. $\pi$　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. $\pi -2$　　　　　　　D. $\pi +2$

🔍【思路分析】

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1. 寻找被积函数 $f(x)=1+\cos x$ 的原函数 $F(x)$。

2. 利用牛顿-莱布尼茨公式，将上限 $\frac{\pi }{2}$ 和下限 $-\frac{\pi }{2}$ 分别代入原函数作差。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $(x+\sin x{)}^{\prime }=1+\cos x$， 所以被积函数 $1+\cos x$ 的一个原函数为 $F(x)=x+\sin x$。 根据微积分基本定理有： ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(1+\cos x)\text{d}x=[x+\sin x{]}_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ $=\left(\frac{\pi }{2}+\sin \frac{\pi }{2}\right)-\left(-\frac{\pi }{2}+\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)\right)$ $=\left(\frac{\pi }{2}+1\right)-\left(-\frac{\pi }{2}-1\right)$ $=\frac{\pi }{2}+1+\frac{\pi }{2}+1=\pi +2$. 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：微积分基本定理的直接应用。

2. 核心方法：公式法，即 ${\int }_a^{b}f(x)\text{d}x=F(b)-F(a)$。

3. 避坑指南：代入负下限 $-\frac{\pi }{2}$ 时需注意负号的叠加及三角函数的诱导公式，如 $\sin (-\frac{\pi }{2})=-1$，切勿因符号混淆导致计算错选 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于选修课本中定积分的计算章节基础题，是高考对微积分初级运算能力的典型考查。

2. 结论推广：利用对称区间上偶函数的积分性质，该式可进一步简化为 $2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1+\cos x)\text{d}x=2[x+\sin x{]}_0^{\frac{\pi }{2}}=2\left(\frac{\pi }{2}+1\right)=\pi +2$。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2014-山东卷理-06 单-定积分与微积分基本定理