2012-湖北卷理-03 单-定积分

本题导读

本题考查二次函数的标准方程与图象特征，以及定积分的几何意义。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(理)） 已知二次函数 $y=f(x)$ 的图像如图所示，则它与 $x$ 轴所围图形的面积为()

A. $\frac{2\pi }{5}$　　　　　　　B. $\frac{4}{3}$　　　　　　　C. $\frac{3}{2}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出二次函数解析式：观察图象，抛物线的顶点在 $y$ 轴上，坐标为 $(0,1)$，且与 $x$ 轴交于 $(-1,0)$ 和 $(1,0)$。可设抛物线为顶点式 $y=a{x}^2+1$，代入交点求出系数 $a$。
2. 明确积分边界与被积函数：所求面积为封闭的曲边梯形。图象在 $x$ 轴上方，积分区间为两交线的横坐标范围 $[-1,1]$，被积函数即为求出的二次函数 $f(x)$。
3. 执行定积分计算：利用定积分性质， $S={\int }_{-1}^{1}f(x)\text{d}x$。寻找到原函数后，代入上下限利用牛顿-莱布尼茨公式求出常数值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定二次函数 $y=f(x)$ 的解析式 由题图可知，该二次函数的图象（抛物线）具有极佳的对称性：

• 抛物线的顶点位于 $y$ 轴上，其坐标为 $(0,1)$；
• 抛物线与 $x$ 轴相交于两点，其坐标分别为 $(-1,0)$ 和 $(1,0)$。

由于顶点为 $(0,1)$，我们可以非常简便地设该二次函数的解析式为顶点式： $f(x)=a{x}^2+1(a\ne 0)$

将交点 $(1,0)$ 的坐标代入该解析式中以求解系数 $a$： $a\times 1^2+1=0⟹a+1=0⟹a=-1$ 所以，该二次函数的精确解析式为： $f(x)=-x^2+1$

第二步：运用定积分表达并计算所围图形的面积 由图可知，抛物线与 $x$ 轴所围成的封闭图形在区间 $[-1,1]$ 上完全位于 $x$ 轴的上方（ $f(x)\ge 0$ ）。 根据定积分的几何意义，该阴影曲边图形的面积 $S$ 严格等于函数 $f(x)$ 在该区间上的定积分： $S={\int }_{-1}^1(-x^2+1)\text{d}x$

首先寻找被积函数 $(-x^2+1)$ 的一个标准原函数 $F(x)$。根据导数的逆运算（幂函数积分公式 $\int x^n\text{d}x=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}$）： $F(x)=-\frac{1}{3}{x}^3+x$

接下来，应用微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式），将积分上限 1 和下限 $-1$ 分别代入原函数中进行作差计算： $S={\left(-\frac{1}{3}{x}^3+x\right)|}_{-1}^1$ $S=\left(-\frac{1}{3}\times 1^3+1\right)-\left(-\frac{1}{3}\times (-1{)}^3+(-1)\right)$ $S=\left(-\frac{1}{3}+1\right)-\left(\frac{1}{3}-1\right)$ $S=\frac{2}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$

所以，二次函数与 $x$ 轴所围图形的面积为 $\frac{4}{3}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由特征图象反求抛物线待定系数、定积分公式 ${\int }_{-a}^a{x}^2\text{d}x$ 的多项式基本计算。
2. 核心方法：偶函数区间对称积分法。本题中被积函数 $f(x)=-x^2+1$ 是一个标准的偶函数（满足 $f(-x)=f(x)$），且积分区间 $[-1,1]$ 关于原点完全对称。在实际高考计算中，可直接利用偶函数对称积分简化通式进行提速： $S={\int }_{-1}^1(-x^2+1)\text{d}x=2{\int }_0^1(-x^2+1)\text{d}x=2{\left(-\frac{1}{3}{x}^3+x\right)|}_0^1=2\left(-\frac{1}{3}+1-0\right)=2\times \frac{2}{3}=\frac{4}{3}$ 这样可以避开带入负上限 $-1$ 时的繁琐符号变号，大幅降低笔误率。
3. 避坑指南：

• 原函数幂次或符号写错：在对 $-x^2$ 进行积分时，部分考生容易笔误写成 $-\frac{1}{2}{x}^3$ 或 $-3x^3$。切记积分是求导的逆运算，幂次是“加 1 翻倒在身前”。
• 上下限代入作差时符号漏算：在计算 $F(1)-F(-1)$ 时，由于负号较多，括号展开时容易漏掉负负得正的符号变化。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》中定积分在几何求面积中的标准应用习题。属于考查微积分基本定理基本功的低难度送分题。
2. 结论推广:

• 标准对称轴抛物线曲边面积快速模型：对于任意一个标准正立或倒立的抛物线图形，若其顶点在 $(0,H)$，且与 $x$ 轴交于 $(-W,0)$ 和 $(W,0)$。
• 则该抛物线与 $x$ 轴所包络围成的曲边三角形封闭代数总面积，在完全提取公因式积分后，其数值恒严格等于其外接包络矩形面积的 $\frac{2}{3}$ 借（著名的阿基米德抛物线求积定理）。
• 严格的几何快捷通式恒表现为： $S_{\text{封闭}}=\frac{2}{3}\times \text{底}\times \text{高}=\frac{2}{3}\times (2W)\times H=\frac{4}{3}WH$
• 我们用本题的特征图象直接套用该推广快速模型：由图可知半底宽 $W=1$，高 $H=1$。直接口算： $S=\frac{4}{3}\times 1\times 1=\frac{4}{3}$。
• 结果直接一步到位。熟记这一阿基米德抛物线外接矩形面积放缩定则，在考场上遇到任何同类“二次函数围成面积”的选择、填空小题时，均能实现完全、直接得出。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2000-新课标理-08 单-定积分的几何意义
• 2009-福建卷理-04 单-微积分基本定
• 2011-湖南卷理-06 单-定积分