2009-辽宁卷理-03 单-向量

本题导读

本题考查平面向量数量积的几何定义及向量线性组合的模长计算。将模长问题转化为向量平方是解题的核心通法。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(理)） 平面向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $60^{\circ }$, $\mathbf{a}=(2,0)$, $|\mathbf{b}|=1$, 则 $|\mathbf{a}+2\mathbf{b}|=$ ()

A. $\sqrt{3}$　　　　　　　B. $2\sqrt{3}$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $12$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由坐标求出向量 $\mathbf{a}$ 的模长。
2. 根据夹角和两向量的模长计算数量积 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$。
3. 利用 $|\mathbf{a}+2\mathbf{b}{|}^2={\mathbf{a}}^2+4\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+4{\mathbf{b}}^2$ 展开计算，最后开方求得模长。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\mathbf{a}=(2,0)$，所以 $|\mathbf{a}|=\sqrt{2^2+0^2}=2$。 已知 $|\mathbf{b}|=1$，$⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩=60^{\circ }$， 所以 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos 60^{\circ }=2\times 1\times \frac{1}{2}=1$。 则 $|\mathbf{a}+2\mathbf{b}{|}^2=(\mathbf{a}+2\mathbf{b}{)}^2={\mathbf{a}}^2+4\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+4{\mathbf{b}}^2$ $=2^2+4\times 1+4\times 1^2$ $=4+4+4=12$。 所以 $|\mathbf{a}+2\mathbf{b}|=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量的坐标表示与模长，数量积的定义公式。
2. 核心方法：“求模长，先平方”，即利用 $|\mathbf{x}{|}^2={\mathbf{x}}^2$ 展开。
3. 避坑指南：展开平方时容易漏掉中间项的系数或将数量积错算为标量乘法；最后一步极易忘记开平方导致错选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考向量运算的高频经典题型，综合了坐标形式与几何形式。
2. 结论推广: 求解形如 $|m\mathbf{a}+n\mathbf{b}|$ 的问题，直接构造平方公式展开，是解决此类线性组合模长问题的通解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心