2009-辽宁卷理-05 单-排列组合

本题导读

本题考查有限制条件的组合数计算。要求选出的3人中既有男又有女，使用间接法排除全是男或全是女的情况最为简便。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(理)） 从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 ()

A. 70 种　　　　B. 80 种　　　　C. 100 种　　　　D. 140 种

🔍【思路分析】

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1. 计算从9名医生中任意选出3名的总方案数。
2. 计算不符合条件（即全是男医生或全是女医生）的方案数。
3. 用总方案数减去不符合条件的方案数。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

从共有 9 名医生中任意选拔 3 名，总的组队方案数为 ${\mathrm{C}}_9^3=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=84$ 种。 不满足条件的选法包括两类： ① 选出的 3 人全是男医生，有 ${\mathrm{C}}_5^3=10$ 种方案； ② 选出的 3 人全是女医生，有 ${\mathrm{C}}_4^3=4$ 种方案。 故满足“男、女医生都有”的方案数为： $84-10-4=70$ 种。 （另解：直接分类为“2男1女”与“1男2女”，则 ${\mathrm{C}}_5^2{\mathrm{C}}_4^1+{\mathrm{C}}_5^1{\mathrm{C}}_4^2=10\times 4+5\times 6=70$ 种。） 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：组合数公式及其应用。
2. 核心方法：间接法（正难则反）或直接分类讨论法。
3. 避坑指南：切忌采用“先从男女各选1人保证都有，再从剩下的7人中选1人”的错误思路（即 ${\mathrm{C}}_5^1{\mathrm{C}}_4^1{\mathrm{C}}_7^1=140$），这会导致同一组人被重复计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 排列组合中的经典“至少包含某元素”题型。
2. 结论推广: 遇到“至少、都有”等字眼时，“正难则反”通过总数扣除极端情况是通法，能够有效避免重复计数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2012-辽宁卷理-05 单-排列组合
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用