2009-辽宁卷理-07 单-几何证明

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于利用分式函数的求导法则求出导函数，将切点横坐标代入求得切线斜率，再结合点斜式写出直线方程。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(理)） 曲线 $y=\frac{x}{x-2}$ 在点 $(1,-1)$ 处的切线方程为 ()

A. $y=x-2$　B. $y=-3x+2$　C. $y=2x-3$　D. $y=-2x+1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对目标函数 $y$ 求导，得到导函数 $y^{\prime }$。
2. 将切点横坐标 $x=1$ 代入导函数，计算出切线的斜率 $k$。
3. 利用点斜式方程 $y-y_0=k(x-x_0)$ 写出切线方程并化简。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

对函数 $y=\frac{x}{x-2}$ 求导，得： $y^{\prime }=\frac{1\cdot (x-2)-x\cdot 1}{(x-2{)}^2}=\frac{-2}{(x-2{)}^2}$。 将切点横坐标 $x=1$ 代入，得切线斜率： $k=y^{\prime }{|}_{x=1}=\frac{-2}{(1-2{)}^2}=-2$。 由点斜式可得切线方程为： $y-(-1)=-2(x-1)$ 化简得：$y=-2x+1$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式求导法则，导数的几何意义。
2. 核心方法：公式法求导求斜率。
3. 避坑指南：分式求导公式为 ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$，注意分子中间是减号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 常规的导数基础运算题，主要考察基本概念的熟练度。
2. 结论推广: 若已知函数曲线和斜率求切点，反向令 $f^{\prime }(x)=k$ 解方程即可，属于该知识点的高频逆向考法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷理-08 单-导数综合
• 2011-北京卷理-18 解-导数
• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式