2009-辽宁卷理-14 填-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式与前 $n$ 项和公式的综合应用。通过引入基本量（首项 $a_1$ 与公差 $d$）建立方程求解是最经典和稳妥的通法。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(理)） 等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $6S_5-5S_3=5$，则 $a_4=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。
2. 用 $a_1$ 和 $d$ 表示出 $S_5$ 和 $S_3$，代入已知等式 $6S_5-5S_3=5$ 进行化简。
3. 观察化简后的代数式与所求项 $a_4=a_1+3d$ 的结构关系，直接得出结果。

✅【答案】

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$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。 则 $S_5=5a_1+\frac{5\times 4}{2}d=5a_1+10d$； $S_3=3a_1+\frac{3\times 2}{2}d=3a_1+3d$。 代入已知等式 $6S_5-5S_3=5$，得： $6(5a_1+10d)-5(3a_1+3d)=5$ 展开合并同类项： $(30a_1+60d)-(15a_1+15d)=5$ $15a_1+45d=5$ 两边同除以 15，得： $a_1+3d=\frac{1}{3}$ 因为等差数列的通项公式为 $a_n=a_1+(n-1)d$， 所以 $a_4=a_1+3d=\frac{1}{3}$。 故答案为：$\frac{1}{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列的前 $n$ 项和公式，等差数列的通项公式。
2. 核心方法：首项与公差的“基本量法”。
3. 避坑指南：化简出 $15a_1+45d=5$ 后，不要盲目去求单个的 $a_1$ 或 $d$（这是一个不定方程，无唯一解），要具有“整体代换”的数学眼光，发现其刚好为 $15(a_1+3d)=15a_4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典的等差数列基本量计算小题。
2. 结论推广: 许多数列小题虽然给出的条件不足以求出所有基本量，但只要利用等差数列的线性特征，目标项均能通过整体变形直接化出。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-22 解-等差数列
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件
• 2011-大纲卷文-06 单-等差数列片段和