2009-辽宁卷理-15 填-三视图

本题导读

本题考查根据三视图还原几何体并计算其体积。核心在于准确识别三视图中的虚实线关系，将二维投影还原为空间中的不规则三棱锥，并找准底面与高。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(理)） 设某几何体的三视图如图所示 (尺寸的长度单位为 $\text{m}$). 则该几何体的体积为$\underline{}$ ${\text{m}}^3$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据正视图和侧视图，判断该几何体是一个三棱锥。
2. 侧视图为一个直角三角形（直角边分别为 2 和 3），说明三棱锥的一个侧面垂直于底面，或者其顶点在底面上的射影落在底面的边缘。
3. 俯视图为一个底边为 4（$3+1$）、高为 3 的三角形，确定底面形状。结合正视图中斜线的分割，判断顶点的投影位置，进而确定三棱锥的高，代入体积公式求解。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

由三视图还原几何体，该几何体是一个三棱锥。 它的底面为俯视图所示的三角形。 由俯视图的数据可知，底面三角形的底边长为 $3+1=4\text{ m}$。 该底边对应的高（即侧视图的横向直角边长度）为 $3\text{ m}$。 所以，底面三角形的面积为： $S_{\text{底}}=\frac{1}{2}\times 4\times 3=6{\text{ m}}^2$。 根据侧视图的高为 $2\text{ m}$，且正视图和侧视图的外轮廓特征可知，该三棱锥顶点到底面的距离（即三棱锥的高）为 $h=2\text{ m}$。 因此，该三棱锥的体积为： $V=\frac{1}{3}\times S_{\text{底}}\times h=\frac{1}{3}\times 6\times 2=4{\text{ m}}^3$。 故答案为：$4$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三视图还原空间多面体，棱锥的体积计算。
2. 核心方法：

• “投影法”确定底与高：俯视图直接反映底面的真实形状和尺寸，正、侧视图的最高点到俯视图所在平面的垂直距离即为几何体的高。

3. 避坑指南：部分同学容易被俯视图内部的斜分割线干扰，试图进行复杂的割补计算。其实无论顶点在底面上的投影落在何处，整个几何体仍是一个单一的三棱锥，其整体的高和底面积是固定且易得的，直接套用 $V=\frac{1}{3}Sh$ 即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 典型的高考立体几何三视图体积计算题。
2. 结论推广: 遇到三视图求锥体体积时，通常“俯视图定底面积，正/侧视图定高”，无需将每一个顶点的空间坐标完全精确复原即可快速求出体积。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷文-12 填-三视图五棱柱体积
• 2012-江西卷文-07 单-三视图六棱柱体积
• 2012-浙江卷文-03 单-三视图棱锥体积