2009-重庆卷理-02 单-复数

本题导读

本题考查复数的概念（实部与虚部）、复数的代数除法运算。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(理)） 已知复数 $z$ 的实部为 $-1$，虚部为 $2$，则 $\frac{5\text{i}}{z}=$ ()

A. $2-\text{i}$　　　　B. $2+\text{i}$　　　　C. $-2-\text{i}$　　　　D. $-2+\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据复数实部与虚部的定义写出复数 $z$ 的代数形式。

2. 代入分式中，分子与分母同乘分母的共轭复数进行分母实数化并化简。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：由题意可知，复数 $z=-1+2\text{i}$。 则目标代数式为： $\frac{5\text{i}}{z}=\frac{5\text{i}}{-1+2\text{i}}=\frac{5\text{i}(-1-2\text{i})}{(-1{)}^2+2^2}=\frac{-5\text{i}-10{\text{i}}^2}{1+4}$ 将 ${\text{i}}^2=-1$ 代入上式分子中化简得： $\frac{5\text{i}}{z}=\frac{10-5\text{i}}{5}=2-\text{i}$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的代数形式 $z=a+b\text{i}$；复数除法运算法则。

2. 核心方法：共轭因式实数化法。

3. 避坑指南：写复数 $z$ 时注意虚部不带 $\text{i}$，即 $z=-1+2\text{i}$，计算乘法时注意 ${\text{i}}^2=-1$ 的符号变换。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自教材复数代数运算章节的基础练习题，考查复数四则运算的基本功。

2. 结论推广: 对任意复数 $z=a+b\text{i}$， $\frac{\text{i}}{z}=\frac{b+a\text{i}}{a^2+b^2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-19 解-复数运算
• 2011-上海卷理-19 解-复数
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