2009-重庆卷理-06 单-古典概型

本题导读

本题考查古典概型、排列组合与分类计数原理。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(理)） 锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个，花生馅汤圆 5 个，豆沙馅汤圆 4 个，这三种汤圆的外部特征完全相同. 从中任意舀取 4 个汤圆，则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为 ()

A. $\frac{8}{91}$　　　　　　B. $\frac{25}{91}$　　　　　　C. $\frac{48}{91}$　　　　　　D. $\frac{60}{91}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算从总共 15 个汤圆中任取 4 个的总基本事件数 ${\text{C}}_{15}^4$。
2. 因为共抽取 4 个且需包含所有 3 种馅，故必定有且仅有一种馅取到 2 个，其余两种各取 1 个。
3. 按照“哪种馅取到 2 个”分为三类情况计算符合条件的基本事件数，最后由古典概型公式求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：锅中汤圆总数为 $6+5+4=15$ 个。 从中任意舀取 4 个汤圆的总基本事件数为： $\Omega ={\text{C}}_{15}^4=\frac{15\times 14\times 13\times 12}{4\times 3\times 2\times 1}=1365$ 设“每种汤圆都至少取到 1 个”为事件 $M$，将其分为以下三类情况： ① 芝麻馅 2 个，花生、豆沙各 1 个：有 ${\text{C}}_6^2\times {\text{C}}_5^1\times {\text{C}}_4^1=15\times 5\times 4=300$ 种； ② 花生馅 2 个，芝麻、豆沙各 1 个：有 ${\text{C}}_6^1\times {\text{C}}_5^2\times {\text{C}}_4^1=6\times 10\times 4=240$ 种； ③ 豆沙馅 2 个，芝麻、花生各 1 个：有 ${\text{C}}_6^1\times {\text{C}}_5^1\times {\text{C}}_4^2=6\times 5\times 6=180$ 种。 满足条件的总基本事件数为： $300+240+180=720$ 种。 故所求概率为： $P(M)=\frac{720}{1365}=\frac{48}{91}$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：组合数计算公式；分类计数加法原理；古典概型计算。
2. 核心方法：元素分类穷举法。
3. 避坑指南：计算时切忌直接用 ${\text{C}}_6^1{\text{C}}_5^1{\text{C}}_4^1{\text{C}}_{12}^1$ 这种先各选一个再从剩下里盲选的方法，这会导致对取到 2 个的同种汤圆产生重复计数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自教材中排列组合与概率交汇的经典摸球模型，侧重考查对无序组合抽样中重复计算的规避能力。
2. 结论推广: 从包含 $a,b,c$ 三种不同元素的总池子中任取 4 个，保证每种至少 1 个的组合数通式为： ${\text{C}}_a^{2}bc+a{\text{C}}_b^{2}c+ab{\text{C}}_c^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2011-重庆卷文-14 填-古典概型组合
• 2012-辽宁卷理-05 单-排列组合