2009-重庆卷理-09 单-二面角

本题导读

本题考查二面角与角平分面、直线与平面所成的角。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(理)） 已知二面角 $\alpha -l-\beta$ 的大小为 $50^{\circ }$，$P$ 为空间中任意一点，则过点 $P$ 且与平面 $\alpha$ 和平面 $\beta$ 所成的角都是 $25^{\circ }$ 的直线的条数为 ()

A. 2　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

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1. 引入二面角的两个角平分面（一个平分 $50^{\circ }$ 的二面角，另一个平分其补角 $130^{\circ }$）。

2. 分析在这两个角平分面内，与两个面成 $25^{\circ }$ 角的空间直线朝向。

3. 结合最大线面角临界条件，分别清点两个面内满足条件的直线的数量。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：二面角 $\alpha -l-\beta$ 的大小为 $50^{\circ }$，过点 $P$ 作二面角的两个角平分面 ${\pi }_1$ 和 ${\pi }_2$：

1. 平面 ${\pi }_1$ 平分 $50^{\circ }$ 的二面角，则平面 ${\pi }_1$ 与平面 $\alpha ,\beta$ 所成的二面角均为 $25^{\circ }$。 在平面 ${\pi }_1$ 内，任何直线与二面角棱 $l$ 的夹角为 $\theta$ 时，其与平面 $\alpha$ 所成角 $\varphi$ 满足 $\sin \varphi =\sin 25^{\circ }\cdot \sin \theta$。 当且仅当 $\theta =90^{\circ }$（即直线垂直于棱 $l$）时，线面角达到最大值 $25^{\circ }$。 因此，在平面 ${\pi }_1$ 内，有且仅有 1 条直线（垂直于棱 $l$）满足与两平面所成角均为 $25^{\circ }$。
2. 平面 ${\pi }_2$ 平分其补角 $130^{\circ }$ 的二面角，则平面 ${\pi }_2$ 与平面 $\alpha ,\beta$ 所成的二面角均为 $65^{\circ }$。 在平面 ${\pi }_2$ 内，直线与平面 $\alpha$ 所成角的最大值为 $65^{\circ }$（垂直于棱 $l$ 时），最小值为 $0^{\circ }$（平行于棱 $l$ 时）。 由于 $25^{\circ }\in (0^{\circ },65^{\circ })$，由单调连续性可知，在平面 ${\pi }_2$ 内，关于棱 $l$ 方向对称地存在 2 条直线满足与两平面所成角均为 $25^{\circ }$．

综上所述，过点 $P$ 满足条件的直线条数共有 $1+2=3$ 条。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二面角的几何平分面；直线与平面所成角的空间对称分布。

2. 核心方法：对称轴截面射影法。

3. 避坑指南：容易误以为两个平分面内各有 2 条而错选 4 条。务必注意在 $25^{\circ }$ 的平分面内， $25^{\circ }$ 已经是能达到的最大倾斜角，此时两条出路重合为唯一直线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自教材中线面角与二面角立体几何交汇的创新题，考查空间想象力与临界极限思维。
2. 结论推广: 已知二面角为 $\theta$，过空间一点与两面所成角均为 $\varphi (0<\varphi <90^{\circ })$ 的直线条数规律如下：

• 当 $\varphi >90^{\circ }-\frac{\theta }{2}$ 时，有 0 条；

• 当 $\varphi =90^{\circ }-\frac{\theta }{2}$ 时，有 1 条；

• 当 $\frac{\theta }{2}<\varphi <90^{\circ }-\frac{\theta }{2}$ 时，有 2 条；

• 当 $\varphi =\frac{\theta }{2}$ 时，有 3 条；

• 当 $0<\varphi <\frac{\theta }{2}$ 时，有 4 条。 本题中 $\theta =50^{\circ },\varphi =25^{\circ }=\frac{\theta }{2}$，完美符合 3 条的通用结论。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

B

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-19 解-直三棱柱平行与二面角
• 2011-四川卷理-11 单-二面角
• 2011-大纲卷文-08 单-直二面角距离