2011-大纲卷文-08 单-直二面角距离

本题导读

本题考查直二面角的性质，以及空间两点间距离的计算。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(文)） 已知直二面角 $\alpha -l-\beta$，点 $A\in \alpha$，$AC\perp l$，$C$ 为垂足，点 $B\in \beta$，$BD\perp l$，$D$ 为垂足．若 $AB=2$，$AC=BD=1$，则 $CD=$ ()

A. $2$　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：以 $C$ 为原点建系：$A$、$B$ 在垂直于 $l$ 的两条平行线上
2. 步骤2：用勾股定理求 $CD$

✅【答案】

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C$CD=\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

因 $\alpha \perp \beta$，$AC\perp l$，故 $AC\perp \beta$；同理 $BD\perp \alpha$。

以 $C$ 为原点、$l$ 为 $x$ 轴建系：$C=(0,0,0)$，$A=(0,0,1)$，$D=(t,0,0)$，$B=(t,1,0)$（$BD\perp l$ 且 $BD=1$）。

$A{B}^2=t^2+1+1=4\Rightarrow t^2=2$，故 $CD=t=\sqrt{2}$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面垂直的性质定理（面内垂直交线则垂直另一面）；空间距离的计算

核心方法：直二面角模型建系：以交线上垂足为原点，两条垂线段给出坐标，距离用两点间距离公式

避坑指南：$AC\perp \beta$ 依据是”面面垂直 + 线垂直于交线”，漏掉这一步直接建系会被扣分；$B$ 的 $x$ 坐标与 $D$ 相同（$BD\perp l$），不是与 $C$ 相同。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直二面角中的距离计算是空间向量法入门题，与 2014-大纲卷文-19（三垂线与二面角）、2012-四川卷文-19（线面角与二面角）同族。

结论推广：推广：一般地，在直二面角中 $A{B}^2=A{C}^2+B{D}^2+C{D}^2$（三垂直模型）；当二面角为 $\theta$ 时需再加 $2AC\cdot BD\cos \theta$ 修正项。

方法推广：空间距离小题：优先识别”三垂直”结构，用勾股定理一步到位；没有垂直关系时才考虑向量或余弦定理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-19 解-三垂线与二面角
• 2012-四川卷文-19 解-线面角与二面角