2009-重庆卷理-13 填-直线与圆的位

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(理)） 已知过点 $P(2,2)$ 的直线与圆 $(x-1{)}^2+y^2=5$ 相交于 $A,B$ 两点，且 $|AB|=2$，则该直线的方程为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分析圆的方程得出圆心坐标 $M(1,0)$ 与半径 $R=\sqrt{5}$。

2. 依据弦长 $|AB|=2$，利用直角三角形勾股性质求出圆心到直线的弦心距 $d=\sqrt{R^2-(\frac{|AB|}{2}{)}^2}$。

3. 对直线斜率是否存在进行分类讨论。设出直线方程，利用点到直线的距离公式等于 $d$ 构建方程，求解出斜率并写出方程。

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直线的方程为 $y=2$ 或 $4x+3y-14=0$

✍【详细解析】

Abstract

解：由圆的方程 $(x-1{)}^2+y^2=5$ 可知，圆心为 $M(1,0)$，半径 $R=\sqrt{5}$。 因为相交弦长 $|AB|=2$，所以半弦长为 1。 根据圆的几何性质，圆心 $M$ 到直线的距离（弦心距） $d$ 满足： $d=\sqrt{R^2-{\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2}=\sqrt{(\sqrt{5}{)}^2-1^2}=\sqrt{5-1}=2$ 接下来求解过点 $P(2,2)$ 且到圆心 $M(1,0)$ 的距离为 2 的直线方程： ① 若直线的斜率不存在，方程为 $x=2$。此时圆心 $(1,0)$ 到直线 $x=2$ 的距离为 $|1-2|=1\ne 2$，不符，舍去。 ② 若直线的斜率存在，设其斜率为 $k$，则由点斜式得直线方程为 $y-2=k(x-2)$， 化为一般式： $kx-y+2-2k=0$。 根据点到直线的距离公式： $d=\frac{|k\times 1-0+2-2k|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|2-k|}{\sqrt{k^2+1}}=2$ 两边平方得： $(2-k{)}^2=4(k^2+1)⟹4-4k+k^2=4k^2+4⟹3k^2+4k=0$ 解得 $k=0$ 或 $k=-\frac{4}{3}$。

• 当 $k=0$ 时，直线方程为 $y=2$；

• 当 $k=-\frac{4}{3}$ 时，直线方程为 $-\frac{4}{3}x-y+2-2\left(-\frac{4}{3}\right)=0⟹4x+3y-14=0$。 综上所述，直线的方程为 $y=2$ 或 $4x+3y-14=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的半弦长几何三角形 $R^2=d^2+(\frac{L}{2}{)}^2$；点到直线的距离公式。

2. 核心方法：几何法与斜率待定系数法。

3. 避坑指南：在设点斜式方程前，必须先口算验证斜率不存在的垂直线（$x=x_0$）是否满足要求，养成不漏解的严密思维。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自教材中直线与圆位置关系标准的核心几何应用大题，是考查割弦最值与斜率双解特征的标志性习题。

2. 结论推广: 过圆外一点向圆引割线，当割线长固定时，由于圆的空间对称性，除了临界相切等极值状态外，一般满足距离条件的割线均会成对对称出现，通常拥有双重解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-04 单-直线与平面位置关系
• 2011-湖北卷文-14 填-直线与圆弦长
• 2011-湖南卷理-21 解-直线与圆