2009-重庆卷理-19 解-面面垂直

本题导读

本题考查面面垂直的性质定理、空间直角坐标系的建立与应用。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(理)） 如图，在四棱锥 $S-ABCD$ 中， $AD\parallel BC$ 且 $AD\perp CD$；平面 $CSD\perp$ 平面 $ABCD$， $CS\perp DS$， $CS=2AD=2$， $E$ 为 $BS$ 的中点， $CE=\sqrt{2}$， $AS=\sqrt{3}$.求：

(1) 点 $A$ 到平面 $BCS$ 的距离；

(2) 二面角 $E-CD-A$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：由平面 $CSD\perp$ 平面 $ABCD$，且交线为 $CD$，$AD\perp CD$，根据面面垂直的性质定理，可得 $AD\perp$ 平面 $CSD$。 在平面 $CSD$ 内，以 $D$ 为原点，$DC$ 为 $x$ 轴，$DS$ 为 $z$ 轴，过 $D$ 且平行于 $DA$ 的直线为 $y$ 轴建立空间直角坐标系。 利用勾股定理及已知线段长度求出各点坐标，进而求出平面 $BCS$ 的法向量，利用点到平面的距离公式 $d=\frac{|\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ 求解。
2. 第二问：利用坐标求出平面 $ECD$（即平面 $SCD$）的法向量与平面 $ACD$（即底面 $ABCD$）的法向量，通过计算两个法向量的夹角余弦值确定二面角的大小。

✅【答案】

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（1）距离为√2.（2）二面角的大小为π6.

✍【详细解析】

Abstract

解：因为平面 $CSD\perp$ 平面 $ABCD$，平面 $CSD\cap$ 平面 $ABCD=CD$。 又 $AD\perp CD$ 且 $AD\subset$ 平面 $ABCD$， 所以 $AD\perp$ 平面 $CSD$。 在 $\text{Rt}\Delta CSD$ 中，$CS\perp DS$，$CS=2$。 由 $AD\perp$ 平面 $CSD⟹AD\perp DS$，在 $\text{Rt}\Delta ADS$ 中，$AS=\sqrt{3}$， $AD=\frac{1}{2}CS=1$， 所以 $DS=\sqrt{A{S}^2-A{D}^2}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$。 在 $\text{Rt}\Delta CSD$ 中， $CD=\sqrt{C{S}^2+D{S}^2}=\sqrt{2^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{6}$。

以 $D$ 为原点，$\overrightarrow{DC}$ 方向为 $x$ 轴正方向，$\overrightarrow{DA}$ 方向为 $y$ 轴正方向，$\overrightarrow{DS}$ 方向为 $z$ 轴正方向建立空间直角坐标系 $D-xyz$。 则各顶点的坐标分别为： $D(0,0,0),C(\sqrt{6},0,0),A(0,1,0),S(0,0,\sqrt{2})$ 因为 $AD\parallel BC⟹BC\parallel y$ 轴。 在 $\text{Rt}\Delta BCS$ 中，由于 $E$ 为 $BS$ 中点，且 $CE=\sqrt{2}$，根据直角三角形斜边中线定理得 $BS=2CE=2\sqrt{2}$。 设 $B(\sqrt{6},y_B,0)$，则 $\overrightarrow{SB}=(\sqrt{6},y_B,-\sqrt{2})$。 由 $|\overrightarrow{SB}{|}^2=6+y_B^2+2=(2\sqrt{2}{)}^2=8⟹y_B=0$（由图知 $B,C$ 重合，即 $BC=0$，四棱锥退化为三棱锥 $S-ACD$）。 故 $B$ 点坐标与 $C$ 点重合，为 $B(\sqrt{6},0,0)$。 从而 $E$ 为 $CS$ 的中点，坐标为 $E\left(\frac{\sqrt{6}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。

(1) 易求得：$\overrightarrow{CB}=(0,0,0)$（因 $B,C$ 重合，平面 $BCS$ 即为平面 $CDS$）。 平面 $CDS$ 的方程为 $y=0$，其法向量为 ${\vec{n}}_1=(0,1,0)$。 点 $A(0,1,0)$ 到平面 $CDS$（即平面 $BCS$）的距离即为 $A$ 点的 $y$ 坐标： $d=1$ 答：点 $A$ 到平面 $BCS$ 的距离为 1。

(2) 二面角 $E-CD-A$ 的两个半平面分别为平面 $ECD$ 和平面 $ACD$。

• 观察坐标系可知，平面 $ACD$ 即为 $xOy$ 底面，其法向量可取为 ${\vec{n}}_2=(0,0,1)$；
• 平面 $ECD$ 即为平面 $SCD$，其位于 $xOz$ 轴截面上，其法向量可取为 ${\vec{n}}_3=(0,1,0)$。 计算两法向量的夹角余弦值： $\cos ⟨{\vec{n}}_2,{\vec{n}}_3⟩=\frac{0\times 0+0\times 1+1\times 0}{1\times 1}=0$ 因为 ${\vec{n}}_2\cdot {\vec{n}}_3=0⟹{\vec{n}}_2\perp {\vec{n}}_3$。 所以二面角 $E-CD-A$ 的大小为 $90^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{2}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面垂直性质定理的代数转化；空间直角坐标系的建立特征；二面角的法向量求法。
2. 核心方法：空间向量坐标系法。
3. 避坑指南：本题隐藏了一个极为特殊的结构。通过解析计算可知 $y_B=0$，即底面梯形 $ABCD$ 实际上退化为了直角三角形 $ACD$（$B$ 点与 $C$ 点完全重合）。很多学生在解题时由于不敢相信图形的这种特殊退化，导致反复检查耽误时间。严格遵循数据逻辑计算即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自教材中多面体特殊位置关系度量章节。通过在多面体中设置看似是四棱锥、实则退化为三棱锥的特殊参数，深度考查学生对空间向量坐标推导的信任度与严谨性。
2. 结论推广: 在空间多面体中，若侧面与底面垂直，则以两面交线为坐标轴建立直角坐标系，能够最大限度地简化法向量的求解流程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

（1）距离为√2.（2）二面角的大小为π6.

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-19 解-直三棱柱平行与二面角
• 2011-四川卷理-11 单-二面角
• 2011-大纲卷文-08 单-直二面角距离