2009-陕西卷文-12 单-切线截距累乘

本题导读

考查切线与累乘。$x_n=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$，$x_1{x}_2\cdots x_n=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \cdots \times \frac{n}{n+1}=\frac{1}{n+1}$，选 B。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(文)） 设曲线 $y=x^{n+1}$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）在点 $(1,1)$ 处的切线与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $x_n$，则 $x_1\cdot x_2\cdot \cdots \cdot x_n$ 的值为 ()

A. $\frac{1}{n}$　　　　　　B. $\frac{1}{n+1}$　　　　　　C. $\frac{n}{n+1}$　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y^{\prime }=(n+1)x^n$，切点 $(1,1)$ 处斜率 $n+1$。
2. 切线 $y-1=(n+1)(x-1)$，令 $y=0$：$x_n=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$。
3. 累乘：$\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \cdots \times \frac{n}{n+1}=\frac{1}{n+1}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$y=x^{n+1}$ 的导数为 $y^{\prime }=(n+1)x^n$，在点 $(1,1)$ 处的切线斜率为 $n+1$， 切线方程为 $y-1=(n+1)(x-1)$。 令 $y=0$，得切线与 $x$ 轴交点的横坐标 $x_n=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}.$ 于是 $x_1\cdot x_2\cdot \cdots \cdot x_n=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \cdots \times \frac{n}{n+1}=\frac{1}{n+1}.$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切线方程与数列累乘

核心方法：求出截距 $x_n=\frac{n}{n+1}$ 后累乘逐项约分

避坑指南：$x_n$ 是切线与 $x$ 轴交点的横坐标，应令 $y=0$ 求解，不是令 $x=0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：幂函数 $y=x^{n+1}$ 在点 $(1,1)$ 处的切线斜率即指数 $n+1$。

结论推广：累乘结构 ${\prod }_{k=1}^n\frac{k}{k+1}$ 首尾相约是定式，结果为 $\frac{1}{n+1}$。

方法推广：写出前几项观察约分规律，比直接推通项更稳。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-20 解-切线定参与极值
• 2009-新课标卷文-13 填-指数曲线切线
• 2009-江苏卷-09 填-切线求点
• 2009-北京卷文-18 解-导数切线与极值