2009-陕西卷理-07 单-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质、充分条件与必要条件的判定，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(理)） “$m>n>0$”是“方程 $m{x}^2+n{y}^2=1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆”的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将方程 $m{x}^2+n{y}^2=1$ 改写为标准形式 $\frac{x^2}{\frac{1}{m}}+\frac{y^2}{\frac{1}{n}}=1$。

2. 根据椭圆焦点在 $y$ 轴上，得出分母应满足 $\frac{1}{n}>\frac{1}{m}>0$。

3. 解该不等式组，与已知条件进行双向推导判定。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

将方程 $m{x}^2+n{y}^2=1$ 化为标准方程得：$\frac{x^2}{\frac{1}{m}}+\frac{y^2}{\frac{1}{n}}=1$。 若该方程表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则分母需满足： $\frac{1}{n}>\frac{1}{m}>0⟹m>n>0$ 由此可知，“$m>n>0$”与“方程表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆”是完全等价的。 因此，“$m>n>0$”是该命题的充要条件。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：焦点在 $y$ 轴上的椭圆标准方程中，含未知数分母的大小判定。

2. 核心方法：必须把系数化为倒数形式 $A=\frac{1}{m},B=\frac{1}{n}$，使之符合标准方程结构再做比较。

3. 避坑指南：容易误认为 $m>n$ 使得焦点在 $x$ 轴。注意系数在分子上，系数越大，对应分母倒数反而越小。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是解析几何概念题的经典设计，考查学生对椭圆标准方程定义中 $a^2,b^2$ 位置的理解。

2. 结论推广: 方程 $A{x}^2+B{y}^2=1$ 表示椭圆的充要条件是 $A>0,B>0,A\ne B$；当 $0<A<B$ 时，焦点在 $x$ 轴；当 $0<B<A$ 时，焦点在 $y$ 轴。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• （待补）

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-22 解-椭圆最值与参数范围
• 2011-北京卷文-19 解-椭圆等腰三角形面积
• 2011-北京卷理-19 解-椭圆