2011-上海卷文-22 解-椭圆最值与参数范围

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与焦点，以及两点间距离的最值。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(文)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{m^2}+y^2=1$（常数 $m>1$），$P$ 是曲线 $C$ 上的动点，$M$ 是曲线 $C$ 的右顶点，定点 $A$ 的坐标为 $(2,0)$.

(1) 若 $M$ 与 $A$ 重合，求曲线 $C$ 的焦点坐标；

(2) 若 $m=3$，求 $|PA|$ 的最大值与最小值；

(3) 若 $|PA|$ 的最小值为 $|MA|$，求实数 $m$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) $m=2$ 定 $c$
2. 步骤2：(2) $|PA{|}^2$ 化为 $x$ 的二次函数求区间最值
3. 步骤3：(3) 按 $|PA{|}^2$ 的对称轴与区间关系分类

✅【答案】

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(1) $(\pm \sqrt{3},0)$

(2) 最大值 $5$，最小值 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $1<m⩽1+\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $M$ 为右顶点 $(m,0)$，与 $A(2,0)$ 重合得 $m=2$，椭圆为 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$，$c^2=4-1=3$。

焦点坐标为 $(\pm \sqrt{3},0)$。

（注：合集短答案印 $(\pm \sqrt{5},0)$ 为笔误，多源解析一致为 $(\pm \sqrt{3},0)$。）

(2) $m=3$ 时 $\frac{x^2}{9}+y^2=1$，$y^2=1-\frac{x^2}{9}$，$x\in [-3,3]$。

$|PA{|}^2=(x-2{)}^2+y^2=x^2-4x+4+1-\frac{x^2}{9}=\frac{8}{9}{x}^2-4x+5$。

对称轴 $x=\frac{9}{4}\in [-3,3]$，最小值 $\frac{8}{9}\cdot \frac{81}{16}-9+5=\frac{1}{2}$，故 $\min |PA|=\frac{\sqrt{2}}{2}$；

端点 $x=-3$ 处取得最大值 $25$，故 $\max |PA|=5$。

(3) $|PA{|}^2=(x-2{)}^2+1-\frac{x^2}{m^2}=\left(1-\frac{1}{m^2}\right)x^2-4x+5$，$x\in [-m,m]$，对称轴 $x_0=\frac{2m^2}{m^2-1}$。

若 $x_0⩽m$，即 $m^2-2m-1⩾0$，$m⩾1+\sqrt{2}$：最小值在顶点处，$5-\frac{4m^2}{m^2-1}=(m-2{)}^2$。化简得 $m^4-4m^3+2m^2+1=0$，即 $(m-1)(m^3-3m^2-m-1)=0$，在 $m>1+\sqrt{2}$ 内无解。

若 $x_0>m$，即 $1<m<1+\sqrt{2}$：$[-m,m]$ 上最小值在 $x=m$ 处，$|PA{|}^2{|}_{x=m}=(m-2{)}^2$，即 $\min |PA|=|m-2|=|MA|$，恒成立。

又 $m=1+\sqrt{2}$ 时顶点在端点 $x=m$，最小值同为 $(m-2{)}^2$，符合。

故 $m$ 的取值范围为 $1<m⩽1+\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的几何量；距离平方的二次函数化；对称轴与区间的位置讨论

核心方法：消去 $y$ 把 $|PA{|}^2$ 化为开口向上的二次函数，按对称轴在区间内/外分类求最小值

避坑指南：(1) $c^2=m^2-1=3$，焦点 $(\pm \sqrt{3},0)$；(3) 对称轴 $x_0=\frac{2m^2}{m^2-1}>m$ 等价于 $m^2-2m-1>0$（解出 $m>1+\sqrt{2}$），方向弄反会漏掉 $1<m<1+\sqrt{2}$ 内”恒成立”的整段。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆上的动点距离最值题与 2013-上海卷文-12、2013-上海卷理-09、2011-天津卷文-18 同族。

结论推广：推广：椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上动点到定点 $(t,0)$ 的距离平方是 $x$ 的二次函数；定点在椭圆外时最小值在 $x=\frac{t{a}^2}{a^2-b^2}$ 或端点处。

方法推广：圆锥曲线最值：一律先平方去根号、消元成单变量二次函数，再按”对称轴与区间”三段讨论；最后回代验证取值可达。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-12 填-椭圆焦点距离
• 2013-上海卷理-09 填-椭圆方程与性质
• 2011-天津卷文-18 解-椭圆离心率与弦长