2009-陕西卷理-08 单-向量

本题导读

本题考查向量的线性运算（中点性质）、向量的数量积运算，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(理)） 在 $△ABC$ 中，$M$ 是 $BC$ 的中点，$AM=1$，点 $P$ 在 $AM$ 上且满足 $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PM}$，则 $\overrightarrow{PA}\cdot (\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})$ 等于 ()

A. $-\frac{4}{9}$　　　　　　B. $-\frac{4}{3}$　　　　　　C. $\frac{4}{3}$　　　　　　D. $\frac{4}{9}$

🔍【思路分析】

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1. 由 $M$ 为 $BC$ 中点，利用向量中线定理可得 $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PM}$。

2. 结合条件 $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PM}$，将所求式子中的 $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$ 替换为 $\overrightarrow{AP}$。

3. 由点 $P$ 在线段 $AM$ 上且 $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PM}$，确定出 $|\overrightarrow{PA}|=\frac{2}{3}AM$，最后计算模的平方。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $M$ 是 $BC$ 的中点，由向量的平行四边形法则可得： $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PM}$ 已知 $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PM}$，所以有： $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{AP}=-\overrightarrow{PA}$ 代入所求数量积式子中得： $\overrightarrow{PA}\cdot (\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})=\overrightarrow{PA}\cdot (-\overrightarrow{PA})=-|\overrightarrow{PA}{|}^2$ 又因为点 $P$ 在 $AM$ 上，且 $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PM}$，说明 $AP=\frac{2}{3}AM$。 已知 $AM=1$，则 $|\overrightarrow{PA}|=\frac{2}{3}$。 所以：$-|\overrightarrow{PA}{|}^2=-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=-\frac{4}{9}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量基本定理中“中点向量模型”的灵活互化。

2. 核心方法：构建整体代换，利用 $-\overrightarrow{PA}$ 替代 $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$，使多维问题直接降为一维模长平方问题。

3. 避坑指南：切忌引入复杂的直角坐标系去建系设点坐标，该题属于纯几何向量关系，建系会大幅增加运算量。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题中点 $P$ 满足 $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PM}$ 且 $M$ 为中点，说明点 $P$ 实际上是 $△ABC$ 的几何重心。本题是由三角形重心向量性质 $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ 变形衍生的考题。

2. 结论推广: 若 $G$ 为 $△ABC$ 内部的一点，其满足 $\overrightarrow{GA}\cdot (\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{CC})=-|\overrightarrow{GA}{|}^2$ 的充要条件即为 $G$ 是该三角形的重心。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心