2009-陕西卷理-09 单-排列组合

本题导读

本题考查排列组合与计数原理、分步与分类计数，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(理)） 从 $0,1,2,3,4,5$ 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 ()

A. 300　　　　　　B. 216　　　　　　C. 180　　　　　　D. 162

🔍【思路分析】

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1. 将六个数字分类：奇数有 $\{1,3,5\}$，偶数有 $\{0,2,4\}$。

2. 选数分步：先从 3 个奇数中选 2 个，再从 3 个偶数中选 2 个，计算总的选法并进行全排列。

3. 排除非法情况：减去 $0$ 在首位时组成的“三位数”情况。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

六个数字中，奇数有 $1,3,5$（共 3 个），偶数有 $0,2,4$（共 3 个）。 从中共取出 2 个奇数和 2 个偶数的组合数为 $C_3^2\times C_3^2=3\times 3=9$ 种。 若不考虑首位为 $0$ 的限制，这 4 个数字的全排列有 $A_4^4=24$ 种。 其中，若数字中包含 $0$ 且 $0$ 在首位，则选法为：必选 $0$，再从其余 2 个偶数中选 1 个（$C_2^1=2$ 种），从 3 个奇数中选 2 个（$C_3^2=3$ 种），此时剩下的 3 个数字排在后三位有 $A_3^3=6$ 种，即 $0$ 在首位的情况共有 $2\times 3\times 6=36$ 种。 故满足条件的四位数个数为：$9\times 24-36=216-36=180$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：有限制条件的排列组合问题。

2. 核心方法：采用“正难则反”的间接排除法，先求出无位置限制的总排列数，再扣除首位为 $0$ 的不合题意数。

3. 避坑指南：切记组成多位数时最高位（首位）不能为 $0$，容易在计算总排列时漏掉对 $0$ 位置的特殊讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教 A 版选修 2-3 排列组合章节中“特殊元素优先考虑”的经典改编题。

2. 结论推广: 从包含 $0$ 的 $m$ 个偶数与 $n$ 个奇数中，任取 $a$ 个偶数与 $b$ 个奇数组成无重复数字的 $(a+b)$ 位数，可统一用公式 $\left(C_m^a\cdot C_n^b\cdot A_{a+b}^{a+b}\right)-\left(C_{m-1}^{a-1}\cdot C_n^b\cdot A_{a+b-1}^{a+b-1}\right)$ 求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2012-辽宁卷理-05 单-排列组合
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用