2009-陕西卷理-13 填-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项与前 n 项和、数列极限的计算，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(理)） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $a_6=S_3=12$，则 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{n^2}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设等差数列首项为 $a_1$，公差为 $d$。由已知方程组求出 $a_1$ 和 $d$。

2. 写出前 $n$ 项和 $S_n$ 的表达式，再求极限。

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。 由题意得： $\{\begin{array}{l}{a}_6=a_1+5d=12\\ S_3=3a_1+3d=12⟹a_1+d=4\end{array}$ 解方程组得： $\{\begin{array}{l}{a}_1=2\\ d=2\end{array}$ 则前 $n$ 项和为： $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=2n+n(n-1)=n^2+n$ 从而： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{n^2}={\lim }_{n\to \infty }\frac{n^2+n}{n^2}={\lim }_{n\to \infty }\left(1+\frac{1}{n}\right)=1$ 故填 $1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列基本量方程组、数列极限的基本运算律。

2. 核心方法：利用“知二求三”的基本量思想，快速锁定 $a_1$ 和 $d$。

3. 避坑指南：极限运算中只需保留分子分母的最高次项（即 $n^2$ 的系数比值），无需纠结低次项的展开。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于教材中等差数列前 $n$ 项和公式与函数极限定义的交汇改编，是经典的跨章节综合小题。

2. 结论推广: 若等差数列的公差为 $d$，则其前 $n$ 项和可写为 $S_n=\frac{d}{2}{n}^2+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)n$。显然 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{n^2}=\frac{d}{2}$。直接利用此结论，本题中求得 $d=2$ 后，可口算极限值为 $1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-22 解-等差数列
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件
• 2011-大纲卷文-06 单-等差数列片段和