2009-陕西卷理-16 填-几何证明

本题导读

本题考查导数的几何意义（切线方程）、对数的运算性质，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(理)） 设曲线 $y=x^{n+1}(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ 在点 $(1,1)$ 处的切线与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $x_n$，令 $a_n=\lg x_n$，则 $a_1+a_2+\cdots +a_{99}$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出导数与斜率：求出 $y=x^{n+1}$ 的导函数，代入 $x=1$ 得到切线斜率。

2. 写出切线并求交点：写出切线方程，令 $y=0$ 解出横坐标 $x_n$ 的表达式。

3. 裂项求和：将 $x_n$ 代入 $a_n=\lg x_n$，应用对数性质 $\lg \frac{A}{B}=\lg A-\lg B$ 构造裂项，消去中间项得出最终和。

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$-2$．

✍【详细解析】

Abstract

对函数 $y=x^{n+1}$ 求导得： $y^{\prime }=(n+1)x^n$ 所以在点 $(1,1)$ 处的切线斜率为 $k=n+1$。 该处的切线方程为： $y-1=(n+1)(x-1)$ 令 $y=0$，得： $-1=(n+1)(x_n-1)⟹x_n-1=-\frac{1}{n+1}⟹x_n=\frac{n}{n+1}$ 因此，数列通项公式为： $a_n=\lg x_n=\lg \left(\frac{n}{n+1}\right)=\lg n-\lg (n+1)$ 求和得： ${\sum }_{i=1}^{99}{a}_i=(\lg 1-\lg 2)+(\lg 2-\lg 3)+\cdots +(\lg 99-\lg 100)$ ${\sum }_{i=1}^{99}{a}_i=\lg 1-\lg 100=0-2=-2$ 故填 $-2$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数切线斜率确定、对数形式的拆解与裂项相消。

2. 核心方法：利用 $\lg \frac{A}{B}=\lg A-\lg B$ 构造典型的 $f(n)-f(n+1)$ 型裂项结构。

3. 避坑指南：求切线交点坐标时要注意是与 $x$ 轴的交点（即令 $y=0$），不要误操作成与 $y$ 轴相交。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是由高中常见的导数几何意义（切线问题）和经典数列求和方法“裂项相消”拼接而成的经典考题。

2. 结论推广: 对于曲线 $y=x^{\alpha }$ 在 $(1,1)$ 处的切线与 $x$ 轴交点的横坐标恒为 $x_0=1-\frac{1}{\alpha }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2011-陕西卷文-21 解-对数导数单调比较恒成立
• 2011-上海卷理-01 填-对数反函数
• 2011-北京卷文-03 单-对数不等式比较