2010-上海卷文-09 填-反函数与y轴交点

本题导读

考查反函数。$f^{-1}(x)=3^x-3$，与 $y$ 轴交于 $(0,-2)$。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(文)） 函数 $f(x)={\log }_3(x+3)$ 的反函数的图象与 $y$ 轴的交点坐标是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由 $y={\log }_3(x+3)$ 得 $x=3^y-3$。
2. 反函数 $f^{-1}(x)=3^x-3$。
3. 令 $x=0$：$y=3^0-3=-2$，交点 $(0,-2)$。

✅【答案】

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$(0,-2)$

✍【详细解析】

Abstract

由 $y={\log }_3(x+3)$ 解出 $x=3^y-3$， 故反函数为 $f^{-1}(x)=3^x-3.$ 令 $x=0$，得 $f^{-1}(0)=3^0-3=-2$， 反函数的图象与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,-2)$。 （也可利用对称性：所求即原函数图象与 $x$ 轴交点 $(-2,0)$ 关于 $y=x$ 的对称点。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数及其图象

核心方法：解出 $x$ 互换变量，或利用关于 $y=x$ 的对称性

避坑指南：反函数与 $y$ 轴的交点即原函数与 $x$ 轴交点的对称点；$f^{-1}(0)=3^0-3=-2$，$3^0=1$ 不是 $0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反函数是上海卷的传统考点，多考求值与图象性质。

结论推广：互为反函数的两个图象关于直线 $y=x$ 对称。

方法推广：对数函数 $y={\log }_a(x-h)$ 的反函数是指数型 $y=a^x+h$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2013-上海卷文-15 单-反函数求值
• 2015-上海卷文-04 填-反函数