2007-上海卷文-02 填-反函数求解

本题导读

本题考查反函数的求法。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(文)） 函数 $f(x)=\frac{1}{x-1}$ 的反函数 $f^{-1}(x)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设 $y=\frac{1}{x-1}$，注意 $y\ne 0$。
2. 反解出 $x=\frac{y+1}{y}$。
3. 互换 $x$、$y$，并写出定义域（原函数的值域 $y\ne 0$ 变为反函数的定义域）。

✅【答案】

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$f^{-1}(x)=\frac{x+1}{x}$（$x\ne 0$）

✍【详细解析】

Abstract

设 $y=f(x)=\frac{1}{x-1}$，则 $y\ne 0$，且 $x-1=\frac{1}{y}$，所以 $x=1+\frac{1}{y}=\frac{y+1}{y}.$ 因而 $f^{-1}(x)=\frac{x+1}{x}$，定义域为 $x\ne 0$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数求解

核心方法：反解 x 后互换 x,y，并写定义域

避坑指南：反函数的定义域是原函数的值域：f(x)=1/(x-1) 的值域是 y≠0，所以反函数定义域 x≠0，漏写要扣分

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”反函数”

结论推广：求反函数三步：设 y、反解 x、互换并标定义域

方法推广：定义域由原函数值域决定，不是由反函数解析式反推

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练(Links)

• 2010-上海卷文-09 填-反函数与y轴交点
• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2010-大纲卷II文-04 单-对数反函数
• 2010-江西卷文-08 单-反函数与图象对称