2010-上海卷文-22 解-接近新定义

本题导读

考查新定义。（1）$|x^2-1|<3$ 得 $x\in (-2,2)$；（2）作差 $(a^3+b^3)-(a^{2}b+a{b}^2)=(a+b)(a-b{)}^2>0$；（3）$f(x)=1-|\sin x|$。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(文)） 若实数 $x$、$y$、$m$ 满足 $|x-m|<|y-m|$，则称 $x$ 比 $y$ 接近 $m$.

(1)若 $x^2-1$ 比 $3$ 接近 $0$，求 $x$ 的取值范围；

(2)对任意两个不相等的正数 $a$、$b$，证明：$a^{2}b+a{b}^2$ 比 $a^3+b^3$ 接近 $2ab\sqrt{ab}$；

(3)已知函数 $f(x)$ 的定义域 $D=\{x\mid x\ne k\pi ,k\in \mathbf{Z},x\in \mathbf{R}\}$.任取 $x\in D$，$f(x)$ 等于 $1+\sin x$ 和 $1-\sin x$ 中接近 $0$ 的那个值.写出函数 $f(x)$ 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）$|x^2-1|<|3-0|=3$，$-3<x^2-1<3$，$x^2<4$。
2. （2）由均值不等式 $a^{2}b+a{b}^2⩾2ab\sqrt{ab}$，$a^3+b^3⩾2ab\sqrt{ab}$，去绝对值后作差。
3. $(a^3+b^3)-(a^{2}b+a{b}^2)=(a+b)(a-b{)}^2>0$。
4. （3）$\sin x>0$ 时 $1-\sin x$ 更接近 $0$；$\sin x<0$ 时 $1+\sin x$ 更接近 $0$，合并为 $f(x)=1-|\sin x|$。

✅【答案】

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(1) $(-2,2)$

(3) $f(x)=1-|\sin x|$（$x\ne k\pi$），偶函数，最小正周期 $\pi$，最小值 $0$，在 $\left[k\pi -\frac{\pi }{2},k\pi \right)$ 上单调递增，在 $\left(k\pi ,k\pi +\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调递减（$k\in \mathbf{Z}$）

✍【详细解析】

Abstract

（1）由定义，$|x^2-1-0|<|3-0|$，即 $|x^2-1|<3⟺-3<x^2-1<3⟺-2<x^2<4⟺x^2<4,$ 故 $x$ 的取值范围是 $(-2,2)$。 （2）因为 $a,b$ 为正数，由均值不等式： $a^{2}b+a{b}^2⩾2\sqrt{a^{2}b\cdot a{b}^2}=2ab\sqrt{ab},a^3+b^3⩾2\sqrt{a^3{b}^3}=2ab\sqrt{ab},$ 故待证不等式可去掉绝对值符号，即证 $a^{2}b+a{b}^2-2ab\sqrt{ab}<a^3+b^3-2ab\sqrt{ab}⟺a^{2}b+a{b}^2<a^3+b^3.$ 而 $(a^3+b^3)-(a^{2}b+a{b}^2)=a^2(a-b)+b^2(b-a)=(a-b)(a^2-b^2)=(a+b)(a-b{)}^2,$ 由 $a>0$，$b>0$ 且 $a\ne b$，得 $(a+b)(a-b{)}^2>0$，命题得证。 （3）当 $\sin x>0$ 时，$0<1-\sin x<1+\sin x$，$1-\sin x$ 更接近 $0$； 当 $\sin x<0$ 时，$0<1+\sin x<1-\sin x$，$1+\sin x$ 更接近 $0$。 合并得 $f(x)=1-|\sin x|,x\in D.$ 性质：$f(x)$ 是偶函数；最小正周期为 $\pi$；最小值为 $0$； 在 $\left[k\pi -\frac{\pi }{2},k\pi \right)$ 上单调递增，在 $\left(k\pi ,k\pi +\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调递减（$k\in \mathbf{Z}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义”接近”与绝对值不等式

核心方法：把新定义翻译为绝对值不等式，均值不等式去绝对值

避坑指南：（2）中 $a^{2}b+a{b}^2⩾2ab\sqrt{ab}$ 与 $a^3+b^3⩾2ab\sqrt{ab}$ 两个均值不等式是去掉绝对值的前提；作差后 $(a^3+b^3)-(a^{2}b+a{b}^2)=(a+b)(a-b{)}^2$ 的因式分解要写全。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义题是上海卷压轴的招牌，“接近”实则刻画距离大小比较。

结论推广：$f(x)=\min \{1+\sin x,1-\sin x\}=1-|\sin x|$，含绝对值函数的性质逐条验证。

方法推广：分段讨论 $\sin x$ 的符号是处理含 $\sin x$ 绝对值的通法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

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• 2009-湖南卷文-21 解-B数列新定义
• 2011-北京卷文-20 解-E数列新定义
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