2009-湖南卷文-21 解-B数列新定义

本题导读

考查新定义数列。（1）部分和 $<3$，取 $M=3$ 即为 B-数列；（2）“{x} B-数列 $\Rightarrow$ {S} B-数列”为假（$x_n=1$ 反例），“{S} B-数列 $\Rightarrow$ {x} B-数列”为真；（3）$\sum |a_{j+1}^2-a_j^2|⩽2KM$。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(文)） 对于数列 $\{u_n\}$，若存在常数 $M>0$，对任意的 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，恒有 $|u_{n+1}-u_n|+|u_n-u_{n-1}|+\cdots +|u_2-u_1|⩽M$，则称数列 $\{u_n\}$ 为 $B$-数列.

(1)首项为 $1$，公比为 $-\frac{1}{2}$ 的等比数列是否为 $B$-数列？请说明理由；

(2)设 $S_n$ 是数列 $\{x_n\}$ 的前 $n$ 项和，给出下列两组论断： $A$ 组：①数列 $\{x_n\}$ 是 $B$-数列；②数列 $\{x_n\}$ 不是 $B$-数列； $B$ 组：③数列 $\{S_n\}$ 是 $B$-数列；④数列 $\{S_n\}$ 不是 $B$-数列. 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假，并证明你的结论；

(3)若数列 $\{a_n\}$ 是 $B$-数列，证明：数列 $\{a_n^2\}$ 也是 $B$-数列.

🔍【思路分析】

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1.（1）$u_n={\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$，$|u_{j+1}-u_j|=\frac{3}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{j-1}$，前 $n$ 项和 $=3\left(1-2^{-n}\right)<3$，取 $M=3$，是 B-数列。 2.（2）取命题“若 $\{x_n\}$ 是 B-数列，则 $\{S_n\}$ 是 B-数列”：令 $x_n=1$，$S_n=n$，其差绝对值和为 $n$ 无界，命题为假。 3. 取命题“若 $\{S_n\}$ 是 B-数列，则 $\{x_n\}$ 是 B-数列”：$|x_{n+1}|+\cdots +|x_2|⩽M$，又 $|x_1|=|S_1|$， $\sum |x_{j+1}-x_j|⩽|x_{n+1}|+2{\sum }_{j=2}^n|x_j|+|x_1|⩽2M+|x_1|$，命题为真。 4.（3）$\{a_n\}$ 为 B-数列时常数 $M$，$|a_n|⩽|a_1|+M=K$ 有界。 5. $|a_{j+1}^2-a_j^2|=|a_{j+1}+a_j||a_{j+1}-a_j|⩽2K|a_{j+1}-a_j|$，求和得 $⩽2KM$。

✅【答案】

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(1) 是 B-数列；(2)见解析；(3)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）记该等比数列为 $u_n={\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$，则 $|u_{j+1}-u_j|=\left|{\left(-\frac{1}{2}\right)}^j-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{j-1}\right|=\frac{3}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{j-1}$。 对任意 $n⩾1$，定义中的和为 ${\sum }_{j=1}^n|u_{j+1}-u_j|=\frac{3}{2}{\sum }_{j=0}^{n-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}^j=3\left(1-2^{-n}\right)<3$。 取 $M=3$，该数列是 $B$-数列。 （2）例如取命题“若数列 $\{x_n\}$ 是 $B$-数列，则数列 $\{S_n\}$ 是 $B$-数列”。该命题为假： 取 $x_n=1$，则 $\{x_n\}$ 是 $B$-数列，而 $S_n=n$，有 ${\sum }_{j=1}^n|S_{j+1}-S_j|={\sum }_{j=1}^{n}1=n$， 随 $n$ 无界增大，故 $\{S_n\}$ 不是 $B$-数列。 另取命题“若数列 $\{S_n\}$ 是 $B$-数列，则数列 $\{x_n\}$ 是 $B$-数列”。设 $\{S_n\}$ 满足定义中的常数为 $M$，则 $|x_{n+1}|+|x_n|+\cdots +|x_2|=|S_{n+1}-S_n|+|S_n-S_{n-1}|+\cdots +|S_2-S_1|⩽M$。 又由 $x_1=S_1$，对任意 $n⩾1$，有 ${\sum }_{j=1}^n|x_{j+1}-x_j|⩽|x_{n+1}|+2{\sum }_{j=2}^n|x_j|+|x_1|⩽2M+|x_1|$。 所以 $\{x_n\}$ 是 $B$-数列，这给出了一个真命题。 （3）设 $\{a_n\}$ 为 $B$-数列，取常数 $M>0$ 使 ${\sum }_{j=1}^n|a_{j+1}-a_j|⩽M$。 于是对任意 $n$， $|a_n|⩽|a_1|+{\sum }_{j=1}^{n-1}|a_{j+1}-a_j|⩽|a_1|+M$。 令 $K=|a_1|+M$，则 $|a_n|⩽K$ 对一切 $n$ 成立。 因此 $|a_{j+1}^2-a_j^2|=|a_{j+1}+a_j||a_{j+1}-a_j|⩽2K|a_{j+1}-a_j|$。 对上式从 $j=1$ 到 $n$ 求和，得 ${\sum }_{j=1}^n|a_{j+1}^2-a_j^2|⩽2K{\sum }_{j=1}^n|a_{j+1}-a_j|⩽2KM$。 故 $\{a_n^2\}$ 是 $B$-数列。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列的新定义与不等式放缩

核心方法：定义求和后用等比求和封顶；命题组合作真假；平方化 $|a_{j+1}+a_j||a_{j+1}-a_j|$ 放缩

避坑指南：（1）$M=3$；（2）”$\{x_n\}$ B-数列 $\Rightarrow \{S_n\}$ B-数列”假（$x_n=1$），反向真；（3）上界 $2KM$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义题先把定义式抄清再逐问翻译，三问分别对应”验证、组命题、推广”。

结论推广：举反例是证”假命题”的标准武器：$x_n=1$ 让部分和线性发散。

方法推广：有界性放缩两件套：先证 $|a_n|⩽K$，再拆 $a^2$ 差为两个因子之积。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-20 解-新定义数列存在性
• 2009-北京卷文-14 填-新定义孤立元
• 2009-湖北卷文-09 单-取整函数数列
• 2009-湖北卷文-10 单-三角形数与正方形数